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quando b tende a -J- oo , per ogni valore di q > 0, eccetto per q = q r e 

 (> = £ r -i , ove g r è il modulo del punto P r • 



Lemma. — Quando b tende a + oo, Za funzione /V_i(£,p): a) te«tì!tf 

 a «ero se <C p <C Qr ; /?) ^<?w ha limite finito se ?r <C ? <C Qr-\ ', y) T^ol il 

 modulo non limitato se £> r _, < q . 



a) È stato già dimostrato incidentalmente al n. 4. 



/?) Osserviamo che, integrando per parti, si ha 



) V" u ir) {a , z) da = e~ a w""" (a , s) — Ur-i z r ~ x + f e~ a u ir -" {a , z) da . 



Ora in un punto z di p il cui modulo q sia compreso fra g r e £ r _i , 

 questi esclusi (e quindi sia interno in senso stretto a oy_! , ma esterno a <f r ) 

 la (1) è sommabile (B , r — 1), ma non (B , r) ; quindi, per a = -j- oo, ha 

 un limite finito l' integrale del secondo membro, ma non quello del primo 

 membro; dunque neppure e~ a « (r_l) (a , z) può aver limite finito, e quindi, 

 per la (13), f r -i(b , q) non può aver limite finito per b = -{-co. 



y) Se Q^>Qr-i, assunto un numero q' compreso fra q e Q r -i, questi 

 esclusi, cousideriamo la funzione di b 



g(b) = b 2 e ?' u ir ~ lì {be'* , 1). 



Tendendo h a -j— oo, il suo modulo non può restare limitato, altrimenti 

 l' integrale (3)', ove si cambi r in r — 1 , sarebbe convergente (assoluta- 

 mente) (*), quindi la (1) sarebbe sommabile (B , r — 1) nel punto (q' , 6) 

 esterno alla stella ov_! (il che è impossibile). Ed allora a fortiori non 

 resterà limitato il modulo della funzione (13), perchè, essendo q^>q', si 

 ha (a partire da un certo b^> 0) 



e V p/>£ 2 o e P>b 2 e?' da cui \f M (b , 6)\ > \g(b)\ . 



Dal lemma segue subito il 

 Teorema. — La lunghezza g r del raggio OP r della stella <s r è il 

 limile superiore dei valori di q per i quali la funzione f r -i{b , 6) ha un 

 limite finito [che è necessariamente nullo) per b = -\-co. 



Altrimenti : su ogni semiretta p uscente da l'estremo P r del raggio 

 OP r della stella a r è il limite dei punti z di p nei quali 



(14) lim er a u ir ~ u {a , a) = . 



a=+°o 



(') Infatti il modulo del suo integrando vale b~ z g(b), ed è ben noto che: 



b~ h g{b) db 



convergente, se A > l e g(b) r.-sta limitata quando b tende a -j--oo. 



