7. Sia s = qe i<s un punto P interno in senso stretto al raggio OG della 

 stella a e giacente su p. P è necessariamente anche interno in senso stretto 

 al raggio OP r di qualcuna a r delle stelle (5), quindi (n. 4) in esso la (1) 

 è assolutamente sommabile (B , r — 1) ed ha per somma (n. 2) 



e~ a u' r ~ lì (a ,s) da, 







ove U r _ 2 (<?) vale zero se r<[2 ed è un polinomio se r >2; ossia, appli- 

 cando le solite trasformazioni, 



(15) ' «( e e i9 ) = U r _,(^ <8 ) + e r - ! « (r - 1)<9 e P*. { ' ' ' 



ove l'integrale è assolutamente convergente. 



Ora, detta ij una variabile complessa, consideriamo i due integrali 



(16) I « (r - 1) (^ <9 , l)db . j 4 e "«""-"(^.l)^- 



Il modulo di ciascuno degli integrandi (di cui il secondo è la derivata 

 del primo rispetto a 17) è minore del modulo dell'integrando di (15') (almeno 



a partire da un certo b ^> 0) se la parte reale di — è maggiore di - (') 



(come subito si vede) se rj è interno in senso stretto al cerchio C che ha per 

 diametro OP. Ne segue che gli integrali (16) sono convergenti uniformemente 

 in ogni area interna a C e perciò che il secondo rappresenta la derivata 

 del primo rispetto a rj ; sicché questo è funzione analitica olomorfa di ij 

 rueir interno di C. anzi nell'interno del cerchio che ha per diametro OG, 

 perchè P può prendersi su OG vicino a G quanto si vuole. 

 Tale sarà quindi anche la funzione 



co b 



e *u<- r -»{be* , \)db 



a 



che, col porre jye' 8 = £ (che cade ancora nel detto cerchio) diventa 



(17) g>(f) = U r _ 2 (f) + e i9 e~ Z u lr ~ v (be'* ,1) db , (k = e*). 



(') Per il primo integrando la cosa è evidente. Per il secondo basta dimostrare 

 6 _b_ 



che si ha \hrf "e 1 1 < e P. Posto rj = te ia , questa diventa 



6 cosa b , 



cos a 1 



( _2 be « < e P t~*b< e kb ove k ■ 



t Q 



ed è certamente soddisfatta (a partire da un certo b) se k > , cioè se la parte reale- 

 di - è maggiore di — . 

 V Q 



