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Intanto, quando £ cade sul diametro OG , cioè £ = $e iò , 9>(£) coincide 

 con w(^), come risulta dal confronto con la (15)', dunque: 



Teorema — La somma u(z) della serie (1) su ogni raggio 

 della stella e assume i valori di una funzione analitica che è olomorfa 

 nell'interno in senso stretto del cerchio che ha per diametro il raggio stesso. 



8. Fin qui non abbiamo fatta alcuna ipotesi sul cerchio di conver- 

 genza y della (1), anzi di esso non ci siamo mai serviti. Ora supponiamo 

 che il suo raggio non sia nullo. 



Allora la somma u{z) della serie è funzione analitica olomorfa in y, 

 anzi, come ha dimostrato il Borei (loc. cit., cap. IV) nella stella t. 



Per il teorema precedente, questa funzione può proseguirsi analitica- 

 mente in ogni cerchio che abbia per diametro un raggio OG di e, conser- 

 vandosi olomorfa in ogni cerchio che abbia per diametro OG' (ove G' è un 

 punto interno ad OG) contorno incluso. 



Ne segue ( 2 ) che la (1) è assolutamente sommabile in G', cioè che G r 

 appartiene anche al raggio corrispondente OT della stella r; ma G' è un 

 punto qualunque di OG ; dunque non solo i punti interni a OT cadono 

 in OG (come accade sempre), ma qui anche viceversa, e perciò OG e OT 

 coincidono, e con essi coincidono necessariamente i raggi OP r delle stelle (5). 

 Coneludendo; 



Per una serie (1) con raggio di convergenza non nullo tutte le stelle 

 di sommabilità o\ (5) e t coincidono. 



Dunque per una tal serie il metodo di Borei generalizzato non dà quasi 

 nulla più che il metodo originario (B , o) limitato alle serie assolutamente 

 sommabili. Diciamo « quasi » perchè non è escluso che esso possa sommare 

 la (1) in punti del contorno di z nei quali la (l) non sia assulutamente 

 sommabile ( 3 ). Sicché la sua maggiore potenza può efficacemente esplicarsi 

 solo sopra serie con raggio di convergenza nullo. 



Osserviamo per finire che per le serie che qui consideriamo la deter- 

 miuazione dei raggi OT della (unica) stella di sommabilità t è più sem- 

 plice, poiché essi coincidono con quelli di una qualsiasi delle stelle <f r , 

 dati dal teorema del n. 6. 



( l J È l'estensione alla stella c di un teorema di Borei relativo alla stella r (Lecont 

 tur les séries divergente, pag. 118). Esso ci dà ragione di molte proprietà della funzione 

 u(«) dimostrate nelle Note citate al n. 1. 



( 2 ) Per il teorema di Borei (loc. cit., pag. 122): se la funzione analitica u{z) somma 

 della (1) è olomorfa nell'interno di una circonfereaza passante pel punto e sulla cir- 

 conferenza, la serie (1) è assolutamela sommabile sul diametro che passa per 0, estremi 

 inclusi. 



(*) Per tal rispetto sta alla teoria delle serie assolutamente sommabili, come il me- 

 todo di sommazione di Cesàro sta al metodo classico, perchè il metodo di Cesàro non 

 può sommare la (1) che in punti del contorno del suo cerchio di convergenza (oltre che 

 nei punti interni). 



