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mento lineare sferico in coordinate a , 8 . Se con K= — — 

 curvatura della superficie, si ha 



(5*) 



si indica la 



d ÌOgQ 



ice 



2Ì 12 ^ 

 2 ), 



2> 12 > 

 ( 1 . 



e la superficie corrispondente è individuata a meno di un'omotetia. 

 Sia ora 



(6) ds* = e du % + 2/ <ta -f- g d v* 



l'elemento lineare sferico riferito a coordinate curvilinee u , v arbitrarie, e 

 si domandi di cangiare le u , v in altre variabili a , 8 t rispetto alle quali 

 sia soddisfatta la condizione (5) del Dini. Procedendo come per le equazioni 

 di Darboux relative alle asintotiche virtuali nel problema della deforma- 

 zione ( x ), si trova che le u , v , quali funzioni di a , /? , debbono soddisfare 

 al sistema di equazioni del 2° ordine del tipo iperbolico : 



7>a tyJ 



+ 



(A) 



4- 



j il > 7) log e " 



|_( 1 ) du 

 1 7) log(f 



Tu* 



+ 



( 12 ) , 1 7) logg / ~òu ~òv ~òu lo \ ( 22 ) 7>y Iv _ 

 J 1 j 2 J \ }à ? Hjff V 3« ' J 1 . S ^ V _ 



( 11 ^ 7>>< 

 Ti o f ~ T 



| 12) 1 7>logg ' 

 ^ 2 7>« 



/ 7)y 7)« 7w\ . R 22 



2 



+ 



X 



T>loge " 



D« ìv 



0, 



' < i k ) 



dove i simboli ; > si riferiscono all'elemento lineare sferico (6) e per 

 ( Q ) 



g = q{u , y) s' intende una funzione assegnata arbitrariamente di u , v . Le 

 (A) sono appunto le equazioni per le immagini virtuali di asintotiche che 

 volevamo stabilire, e corrispondono esattamente alle indicate equazioni di 

 Darboux. Esse possono servire a trattare il problema di trovare le superficie 

 per le quali la curvatura K è un'assegnata funzione della giacitura del 

 piano tangente (di p , q) ( 2 ). Ne risulta in particolare : esiste una ed una 

 sola superficie della classe con due curoe sferiche assegnate quali imma- 

 gini sferiche di due asintotiche di diverso sistema. 



Se la superficie è a curvatura positiva, si avranno formole reali ana- 

 loghe alle (A), riferendosi alle immagini sferiche (« , 8) di un sistema iso- 

 termo-coniugato sulle superficie. Le formole si scrivono ora: 



( x ) Cfr. Darboux, Lecons etc, t. Ili, pag. 290, e lamia Nota: Sulla deformazione 

 delle superficie flessibili ed inettendibili (Atti dell' Accademia d Torino, voi. XL, 1905). 

 ( 2 ) Si tratta qui dunque dell'equazione a derivate parziali rt — s' — ~E(p,q)- 



