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Applichiamo queste forinole alle superficie della classe (I*) ponendo 



sen 2 u ' 



a 1 



Q = ~ : 



e distinguendo i due casi K < , K > 



1* caso: K = — - — — . — La seconda delle (A*) diventa 



0, 



e la v è la somma di due funzioni: una di a, l'altra di §. Ma occorre 

 suddistinguere il caso generale a) in cui v contiene tanto a che dallo 

 speciale b) ove v dipende p. es. solo da a . Cangiando i parametri a . /? 

 possiamo fare 



v = a -f- nel caso generale a) 

 i' = a nel caso speciale b) . 



Dopo ciò, cangiando nella prima delle (A*) la funzione incognita u 

 nell'altra 



<p = — cot u , 



essa ci dà per g> l'equazione 



~\- <p = nel caso a) 



Dee 

 7>> 



= nel caso b) , 



7>« tyS 



che sono appunto le annunciate forme normali (2), (2*). Ad ogni soluzione <p 

 della (2), o della (2*), corrisponde così una superficie della nostra classe. 

 Ma nel secondo caso b) , le immagini sferiche delle asintotiche a essendo i 

 meridiani v = cost., la superficie è manifestamente rigata e le sue genera- 

 trici sono ortogonali all'asse z. Cercando direttamente queste conoidi rette, 

 si trovano subito date dalle equazioni parametriche 



_ V 

 x = V cos v — u sen v , y = V sen v -f- u cos v , z = — ; , 



con V funzione arbitraria di v. Esse si deducono dall'elicoide rigata ad 

 area minima 



v 



x = u sen v , w = m cos y , « = — r 



a 2 



colla costruzione indicata al n. 1. 



