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Le attuali conoidi rette danno le soluzioni comuni alle due equazioni 

 del 2° ordine 



[ q 2 r — 2pqs -\-p 2 1 — 



/ rt - s 8 + KP \ q — = , 

 ! 1 a 4 



che formano dunque un sistema in involuzione. 

 sen'* u 



2° caso: K = — , . — La seconda delle (B*) diventa 



J % v = , 



e cangiando il sistema isotermo coniugato (« , /?) in un altro, possiamo 

 porre senza alterare la generalità 



v = a . 



Dopo ciò la prima delle (B*), cangiando la funzione incognita u nel- 

 l'altra 9> = cottó. diventa l'annunciata equazione (4) della fìsica matematica 



— : - L — i i (p — m 



4. Un secondo modo di eseguire l' indicata riduzione del problema alle 

 equazioni (2) o (4) si ha dalle formole di Lelieuvre ( : ) per una superficie 

 riferita alle sue asintotiche (a , /S) , ovvero (per K > 0) ad un sistema (a , §) 

 isotermo coniugato, I coseni di direzione normalizzati della normale sono 



f = X \~q , t) = Y | o , C = Z , 

 ed avendosi nel caso nostro 



TJ ,/- « 



Z = COS M . P = , 



sen m 



ne segue che f , rj sono legate dalla relazione quadratica 



(7) f 2 + /; 2 == a* : 



e viceversa la (7) è caratteristica pel caso nostro. 



Si tratta dunque di trovare le speciali equazioni di Moutard 



(8) £ve = M V (F«K«>). 

 o le altre 



(') Vedi Lezioni di Geometria differenziale, voi. I, §§ 77 e 80. 



