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caso attuale trasformazioni asintotiche delle superficie integrali della (1). 

 Supposto che la superficie di partenza S appartenga alla terna (£ , rj , £) di 

 soluzioni della (2), di cui 



f = a cos (a -f- /?) , ri = a sen (a -f- , f arbitraria , 



prendasi la funzione trasformatrice R definita da 



~ò log R J log R 



__ = cotc , ___ = _ tg , i 



con e costante arbitraria. La nuova superficie Si corrisponderà alle soluzioni 

 trasformate 



£i = a cos (a -j- /? — 2c) , = a sen (a -f- /? — 2<?) , 

 mentre la terza ^ si calcolerà per quadrature dalle corrispondenti equazioni 



In £\ entra così, oltre c, una nuova costante arbitraria. Per la super- 

 ficie S! trasformata abbiamo le formolo (Lesioni, voi. II, pag. 51) 



Xi = x f- a 2 sen (a ~\- fi — 2c) £ — a 2 sen (a -f- fi) f , 

 #i = # — a 2 cos (oc -f- — 2c) £ -(- a 2 cos (a -f- /?) £ , 

 5, = ^ -f~ # 2 sen 2tf , 



delle quali l' ultima è particolarmente da osservarsi pel suo semplice signi- 

 ficato geometrico. 



Indicheremo con B c queste trasformazioni e noteremo che, applicate a 

 superfìcie rigate della classe, dànno nuovamente rigate. 



Si ha ancora qui un teorema di permutabilità le cui formolo assumono 

 la massima semplicità. 



Se alla S sono contigue per trasformazioni B Cl , B Cl due superficie S t , S a , 

 e si suppone c\ ={= c\ , esiste una ed una sola quarta superficie S' legata 

 alla Sj da una B Ca , alla S s da una B Cl e le formolo corrispondenti sono 



fc' = cos (a -f- /S — 2c x — 2c 2 ) , rf = sen (a + /? — 2c x — 2c 2 ) , 



_ { _ sen (c+c) 

 sen (Ci — c 2 ) 



Queste trasformazioni B c delle superficie S sono trasformazioni di 

 Backlund ('), e le corrispondenti formolo, nelle notazioni di Monge, si 



(') Goursat, Équations du second ordre, t. II, n. 202. 



