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scrivono 



/ p (x 1 — x) + q (y, — y) — {s l — s) = 

 \ Pi (>i — x) + (y, — 2/) — (<i — j) = 



j l?Pi + ??! — cos 2 ^ + f VP* + ?i 

 \ gì — s — « 2 sen2£ = 0. 



Esse trasformano in sè stessa l'equazione a derivate parziali (1). 



6. Per le superfìcie S integrali delle (3) le singole trasformazioni B c 

 sono necessariamente immaginarie, ma possono combinarsi in trasformazioni 

 reali. Se si considera in particolare l'effetto di queste trasformazioni reali 

 sulla equazione tipica (4), si ottengono sotto la forma seguente. Sia y una 

 soluzione della (4) e c una costante (reale) arbitraria, e si scriva nelle due 

 funzioni incognite (f Y , y> 2 il sistema lineare ai differenziali totali 



(9) 



i - 1 — — cosh e . w 2 , — r = — senti c .w, + cosn c. w 

 Sa V 



f = cosn c . «Pi + senn e. ai , — - — — = — senh^.g»». 



Questo, essendo </) una soluzione della (4), è un sistema completamente 

 integrabile e le due nuove funzioni , <p 2 (dipendenti da due costanti ar- 

 bitrarie) sono nuove soluzioni della (4). 



È da osservarsi per l'integrazione delle (9) che, applicando il metodo 

 di d'Alembert pei sistemi lineari, la corrispondente equazione di Riccati è 

 di immediata integrazione, e quindi : il sistema (9) si integra con quadra- 

 ture. Ma inoltre, se si applica nuovamente il processo di trasformazione 

 usando opportunamente del teorema di permutabilità, si vede che anche qui, 

 dal primo passo in poi, l' applicazione inde Unitamente ripetuta delle tras- 

 formazioni si compie in termini finiti. 



Rendiconti. 1918, Voi. XXVII, 1° Sem. 



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