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Matematica. — Proprietà caratteristiche delle equazioni di 

 grado primo p risolubili per radicali. Nota 'del dott. Giulio Darbi, 

 presentata dal Socio L. Bianchi. 



Con la presente Nota, che ha lo scopo di determinare un nuovo criterio 

 per riconoscere se un'equazione di grado primo p è risolubile per radicali 

 dimostreremo il seguente teorema: 



La condizione necessaria e sufficiente affinchè un'equazione di grado 

 primo p, irriducibile nel campo assoluto (C) di razionalità, a cui appar- 

 tengono i suoi coefficienti, sia risolubile per radicali, è che qualunque fun- 

 zione razionale in (C) ( 2 ) delle sue radici si possa esprimere in funzione 

 lineare omogenea di (p — 1) radici, con coefficienti che sono funzioni razio- 

 nali in (C) della rimanente radice. 



1. Sia: 



(1) f{x) = 



un'equazione di grado primo p, irriducibile nel campo assoluto (C) di ra- 

 zionalità, a cui appartengono i suoi coefficienti, la quale sia risolubile per 

 radicali. Sappiamo che il suo gruppo (G) di Galois è d'ordine pó, essendo 

 d un divisore di (p — 1). Esaminiamo dapprima il caso in cui sia à uguale 

 a (p — 1). Denotando le radici della (1), sappiamo 



che tutto il gruppo metaciclico si genera con le due sostituzioni elementari 



S — (#o i X\ i •»• i %p— i) i T ^= (#i , Xg , ... , Xgp— ») ; 

 le sue p{p — 1) sostituzioni sono date dalla formola 



(/S = , 1 , 2 , ... ,p — 1 . 



Aggiungendo al campo (C) la radice x , il gruppo (C) si ridurrà al gruppo 

 ciclico formato da T e dalle potenze T 2 , T 3 , ... , T* 5-1 = 1 , mentre l'equa- 

 zione data (1) si riduce all'equazione abeliana a gruppo ciclico: 



(2> Jià— 0, 



di grado (p — 1), irriducibile nel campo (C ; x )- 



(') Cfr. Luigi Bianchi, Teoria dei gruppi di sostituzioni e delle equazioni alge- 

 briche secondo Galois, an. 1899, pp. 197-200, edit. Spoerri, Pisa. 



( 2 ) Con l'espressione: funzione razionale in (C) delle radici, intendiamo dire: fun- 

 zione razionale delle radici con coefficienti appartenenti a (C) 



