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 Ricordiamo il seguente teorema (*) : 



La condizione necessaria e sufficiente, affinchè un'equazione ciclica di 

 grado a, irriducibile in un certo campo (K) di razionalità, a cui apparten- 

 gono i suoi coefficienti, goda della proprietà per cui: ogni funzione razionale 

 in (K) delle sue radici si possa esprimere in funzione lineare di queste con 

 coefficienti appartenenti a (K), è che fra le radici x x , x 2 , ... , x„ della data 

 equazione non esista alcuna relazione del tipo : 



(3) ce, -f- x 9 H \-x d = G. 



essendo C un numero di (K); d un divisore di n; d<^a. 



Giova notare che il precedente teorema sussiste, se nel campo (K) sono 

 irriducibili le equazioni che danno le radici primitive t me dell'unità, essendo t 

 un divisore di n uguale o minore di n. 



Dimostreremo che le menzionate condizioni sono soddisfatte dall'equa- 

 zione (2). Sappiamo che le radici primitive t me dell'unità, essendo t un 

 divisore di {p — 1) soddisfano ad un'equazione abeliana( 2 ): 



(4) xp(e) = , 



di grado X<it, irriducibile in (C). Se la (4) fosse riducibile nel campo 

 (G , x ), il suo gruppo (H) d'ordine X, dovrebbe ridursi ad un suo sotto- 

 gruppo (H,) d'indice p in (H) ( 2 ); ciò è impossibile, essendo tale indice 

 minore di p . 



Se fra le radici della (2) esistesse una relazione del tipo (3), essendo c 

 un numero del campo (C , x a ), d un divisore di (p — 1); d<^p — 1, ap- 

 plicando alla (3) le sostituzioni T , T 2 , T^ -1 = 1, e sommando le relazioni 

 ottenute, si avrebbe : 



(5) dT Xi = c{p— 1) . 



Denotando con q il coefficiente del 2° termine dell'equazione data (1), 

 dalla (5) si ricaverebbe : 



d{g-\- x ) 

 C ~ p-l ■ 



Sostituendo nella (3) al numero c l'espressione che figura nel 2° membro 

 della (5), si ottiene: 



(6) {p — 1) (x y -f- x 2 -1 .+ x d ) + dx - — dq . 



È facile dimostrare che una relazione del tipo (6) fra le radici della (1) 



(') Gfr. Annali di Matematica pura ed applicata, Sulle equazioni abeliane a gruppo 

 ciclico. 1917. 



( 2 ) Cfr. Bianchi, op. cit., pp. 189, 207, 212. 



