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con coefficienti appartenenti a (C), non può sussistere. Applicando alla (6) 



le sostituzioni S , S ? S p_1 = 1 , si ottiene un sistema di p equazioni 



lineari neìle radici x„ , .r, , ... , Xp- X . Il determinante D fra i coefficienti è 

 un circolante d'ordine p; sappiamo^) che è uguale al prodotto 



(— 1) 2 5p(f ) Sp(«i) ••■ ( f( £ P -i) > 



essendo * 



<p(ei) = rf + (p— i) .(«+_«? H h 4) i 



ove «1,8!,.,.,^., sono radici dell'equazione: 



sP — 1=0. 



Il determinante D è diverso da zero, perchè nessuno dei polinomi 

 (f(s ) . (p(e ,),..., (p(sp-i) è nullo, tenuto conto che l'equazione: 



s P-i _|_ £ P-2 _j f- e _j_ 1 = u 



è irriducibile in (C). 



Onde, risolvendo il menzionato sistema rispetto alle incognite x , x x , 

 ... , Xp-i , queste, clie sono radici dell'equazione (1), avrebbero valori appar- 

 tenenti a (C); il che è assurdo, avendo supposto che l'equazione (1) sia 

 irriducibile in (C). 



Applicando all'equazione (2) il teorema, citato al principio di questo 

 articolo, si conclude che : 



ogni funzione razionale in (C) delle radici oc , x x , ... , x p - x si può 

 esprimere in funzione lineare omogenea di x x , x t , ... , x p _x con coefficienti 

 appartenenti al campo (C ; x ). 



Al precedente risultato siamo pervenuti, avendo supposto che l'equa- 

 zione (1) abbia per gruppo di Galois il metaciclico. Se il gruppo della (1) 

 fosse un sottogruppo del metaciclico, il suo ordine sarebbe uguale a ph, 

 essendo h uq divisore di (p — 1). Seguendo lo stesso ragionamento, tenuto 

 nelle pagine precedenti, si arriverebbe al seguente risultato: 



ogni funzione razionale in (C) delle radici della (1), si può esprimere 

 in funzione lineare omogenea di h radici, con coefficienti appartenenti al 

 campo (C ;£<)), essendo li un divisore di jt? — 1. 



2. Dimostriamo l'inverso del teorema ora enunciato, cioè: 



se ogni funzione razionale delle radici di un'equazione di grado 

 primo p, irriducibile nel campo assoluto (C) di razionalità, si può espri- 

 mere in funzione lineare omogenea di (p — 1) radici, con coefficienti che 

 sono funzioni razionali in (C) dell'altra radice, l'equazione data è risolubile 

 per radicali. 



Supponiamo che l'equazione: 

 (7) f(x) = 



( l ) Cfr. Capelli, Istituzioni d'analisi algebrica, 1902, pag. 626. 



