di grado primo p, sia irriducibile nel campo (C) e goda della proprietà 

 testé enunciata. Sappiamo (') che l'ordine X del suo gruppo (r) è uguale 

 ad un multiplo del grado />, cioè 



(7) ' X=pm. 



Aggiungendo al campo (C) la radice cc t , il gruppo (T) si abbassa ad un 

 suo sottogruppo d'ordine m, le cui sostituzioni lasciano ferma la radice x . 

 Se m non è minore di (p — 1), l'equazione: 



(8) -£-^L = o. 



di grado (p — 1) in x, avendo il suo gruppo transitivo, è irriducibile nel 

 campo (C ; x ). 



Ricordiamo il seguente teorema 



Se un'equazione, irriducibile in un certo campo (K) di razionalità, a 

 cui appartengono i suoi coefficienti, gode della proprietà, che ogni funzione 

 razionale in (K) delle sue radici si esprime in funzione lineare di queste 

 con coefficienti appartenenti a (K), l'equazione è normale, e quindi l'ordine 

 del suo gruppo è uguale al grado dell'equazione. 



Applicando il menzionato teorema alla (8), si ricava che m=p — l. 

 Dalla (7/ si ha: 



X=p(p — 1) , 



ossia il gruppo della (8) è il metaciclico; quindi la (8) è risolubile per 

 radicali. Se poi m<Cp — 1 è facile dimostrare che il gruppo della (8) 

 coincide con un sottogruppo del metaciclico. Omettiamo tale dimostrazione, 

 che trovasi nell'opera citata del prof. Bianchi a pag. 198. 



3. Riassumendo i risultati fin qui ottenuti, possiamo enunciare il se- 

 guente teorema: 



La condizione necessaria e sufficiente affinchè un'equazione di grado 

 primo p, irriducibile nel campo assoluto (C) di razionalità, a cui appar- 

 tengono i suoi coefficienti, sia risolubile per radicali, è che ogni funzione 

 razionale in (C) delle sue radici si possa esprimere in funzione lineare 

 omogenea di {p — 1) radici, con coefficienti che sono funzioni razionali 

 in (C) della rimanente radice. 



( x ) Cfr. Bianchi, op. cit., pag. 153. 



( 2 ) Cfr. Giornale di Matematiche di Battaglini, 1901. 



