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Matematica. — Sulle curve ellittiche singolari. Nota di 

 Gaetano Scorza, presentata dal Oorrisp. G. Castelnuovo. 



Il compianto dott. Torelli, studiando le superfìcie con due fasci ellit- 

 tici di curve si imbattè nel seguente problema: 



Quali sono sopra una curva ellìttica le involuzioni birazionalmenie 

 identiche ad essa? 



A questa domanda, nel lavoro citato a piè di pagina, egli dette una 

 risposta esauriente per il solo caso delle curve ellittiche a modulo generale ; 

 ma poiché tale risposta può darsi, e in modo definitivo, per una curva el- 

 littica qualunque, giova riprender la questione ed esaminarla in modo 

 completo. 



In quanto verremo dicendo non vi è alcuna novità sostanziale di risul- 

 tati ; si tratta di cose, sotto altra forma, ben conosciute. Ma come l'origine 

 di questa Nota è puramente didattica, così anche il suo scopo non è che 

 didattico. Essa non mira ad altro che a mettere in circolazione tra i gio- 

 vani cultori della geometria i teoremi fondamentali della teoria delle fun- 

 zioni ellittiche a moltiplicazione complessa, indicandone in modo espliciti 

 l'importante contenuto geometrico. 



Intanto, appunto perchè lo sviluppo dei concetti qui posti di curve el- 

 littiche singolari di prima o di seconda specie e di determinante di una 

 curva ellittica singolare non esigerebbe che un facile lavoro di traduzione 

 di teoremi aritmetici e analitici ben noti, io mi limiterò sul riguardo a bre- 

 vissimi cenni. 



.1. Chiedersi se esista una involuzione di ordine v ( > 1) situata sopra 

 una curva ellittica C e birazionaltnente identica ad essa, o, come diremo, 

 per brevità di discorso, se esista su C una y\ , vai quanto chiedersi se 

 sopra C possa esistere una corrispondenza (algebrica) T con gli indici (v , 1). 



Ed è pur chiaro che mentre una corrispondenza (v , 1) T esistente su C 

 dà luogo ad una sola y[ situata su C, ove si considerino come gruppi di 

 questa involuzione i gruppi di punti corrispondenti in T _1 ai vari punti 

 di C, questa stessa può intendersi come collegata, nello stesso modo che 

 a T, a tutte e sole le infinite corrispondenze (v , 1) situatesi! C e prove- 

 nienti dal moltiplicare T per una qualsiasi trasformazione birazionale di C 

 in sè stessa. 



(') R. Torelli, Sulle superfìcie algebriche contenenti due fasci ellittici di curve 

 [questi Rendiconti, 1912/>rie 5* voi. XXI, pp. 453457]. 



Rendiconti. 1918, Voi. XXVII, 1° Sem. 24 



