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2. Ciò premesso, supponiamo che T sia una corrispondenza (v , 1) 

 [con v > 1] esistente sulla nostra curva ellittica C , e siano z e £ i va- 

 lori dell'integrale ellittico J, legato a C, in un punto X di C e nel punto 

 X' omologo ad X in T. Naturalmente z e s' saranno determinati a meno 

 di periodi. 



Si potrà porre, indicando con a e (i costanti opportune, 



= + («4=0), 



e se « ed to' sono due periodi primitivi di J sarà 



^ a co = m co -\- ii co' 

 I a co' — p o) -\- q co' 



v = m q — pn. . 



Se rj è un numero eguale a r±= 1 , quando C non è nè armonica, nè 

 equianarmonica, a =fc 1, ±i (i = j/ — 1 ) quando C è armonica, a ± 1, ±s 

 o ±f ! (e = e 2 *»' '3) quando G è equianarmonica, le trasformazioni birazionali 

 di C in sè stessa sono rappresentate tutte dalle equazioni 



£ = 7)2 -\- c 



al variare della costante additiva c; quindi le corrispondenze (v , 1) colle- 

 gate con T a una stessa involuzione y\ situata su C sono date tutte dalle 

 formule 



/ = r; a s -f- C 



al variare della costante additiva c. 



Come è noto, il numero a . che diremo moltiplicatore della corrispon- 

 denza T, e gli interi m,n,p,q (interi caratteristici di T) si determi- 

 nano reciprocamente In modo univoco; ed è pur noto che la coesistenza 

 delle (1) tra i periodi co e to', il numero a e gli interi m,n,p,q rap- 

 presenta, se a 4= , la condizione necessaria e sufficiente per l'esistenza 

 su C di (una e quindi di) infinite corrispondenze (v , 1) aventi il moltipli- 

 catore a e l'indice v = mq — pn ==• 1 . 



Se stabiliamo di chiamare associati i (due, quattro o sei) numeri rj a , 

 e diciamo che a è un moltiplicatore di C se è diverso da zero ed esistono 

 degli interi m ,n ,p ,q legati ad esso e ai periodi co ed co' dalle egua- 

 glianze (1), possiamo dire che: 



Ad ogni involuzione y\ esistente su C risponde un gruppo di mol- 

 tiplicatori associali di C e viceversa. 



(1) 



con m r n ,p , q interi, e 

 (2) 



