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Segue che: 



Saranno determinate tutte le y\ esistenti su C appena sieno deter- 

 minati tutti i suoi moltiplicatori. 



3. Ora tale determinazione è immediata. 



La curva C è non singolare o singolare secondo che l' integrale J non 

 è od è a moltiplicazione complessa; se J è a moltiplicazione complessa, sia 



Pw 2 + Q««' -f Ra/ 2 = (Q 2 — 4PR<0) 



l'equazione quadratica a coefficienti interi cui soddisfanno co e to', equazione 

 che è univocamente determinata, se, come è lecito, supponiamo che P , Q , R 

 siano primi fra di loro e che inoltre sia P > , R > . 



Poiché dalle (1) si deduce per w e w' la relazione a coefficienti interi 



jow 2 -j- (q — m) (o a — noo' 1 = , 



segue che, indicando con ^ e o delle indeterminate intere, i sistemi di in- 

 teri caratteristici m,n,p,q corrispondenti ai vari moltiplicatori a di C e 

 questi moltiplicatori stessi sono dati tutti nel primo caso dalle formule 



,izr=p = , m = q = q , u = q (^4=0) 

 e nel secondo caso dalle formule 



co 



m — a , n = — Rq , p = Po , y = <r -j- , a = <f — R — q 



(e* + " 2 + o). 



Corrispondentemente per v = mq — pn si ha, nei due casi, 

 v = q ì oppure v = a' 2 -\- Q q a -j- P R(> 2 . 



Per dare nel secondo caso alla formula riguardante v un aspetto più 

 semplice giova porre, indicando con t una nuova indeterminata intera, 



Q „ Q—l 

 a = r — -Q o <y = x - — q 



secondo che Q è pari o dispari; corrispondentemente risulta 



2 L D 2 2.1 2 



v = z i -\- — q i oppure v = r 2 -\- tq -\- — ^ — o 2 , 



dove D = 4PR — Q 2 è positivo. 



Se la curva C è singolare, il numero D che non dipende dalla scelta 

 dei periodi primitivi di J , e che, per quanto risulterà tra poco, ha un si- 

 gnificato geometrico fondamentale per la curva C , lo diremo il determinante 

 di C ; e, sempre con linguaggio evidentemente suggerito dalla teoria aritme- 

 tica delle forme quadratiche, diremo che C è della prima o della seconda 



