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specie, secondo che Q è pari o dispari, o, ciò che fa lo stesso, secondo che è 



D == oppure D = 3 (mod. 4). 



Notando che se C è armonica è D = 4, mentre se C è equianarmonica è 

 D = 3 (e viceversa), risultano dalle cose dette i seguenti teoremi : 



I. Se la curva C non è singolare, essa ammette infinite y\ con 

 gli ordini 



1.4,9,.... 



avendosi una y\ per ogni valore dell'ordine. » 



II. Se la curva C è singolare e il valore del suo determinante 

 è D, gli ordini delle infinite y\ esistenti su C sono dati dai numeri po- 

 sitivi rappresentabili mediante l'una o l'altra delle due forme 



secondo che C è della prima o della seconda specie; e per ogni valore 

 dell'ordine v si hanno su C tante y\ diverse quanto è il numero delle 

 rappresentazioni diverse di v mediante la forma f o f diviso per 2, per 

 4 o per 6, secondo che è D>4, D = 4 o D = 3. 



Di qua si possono dedurre numerose proposizioni sfruttando la teoria 

 dei numeri rappresentabili mediante forme quadratiche; ci basti indicare, a 

 titolo di esempio, la seguente che dà luogo a un enunciato semplice ed ele- 

 gante : 



Se è armonica e v è un numero dispari positivo, il numero 

 delle y\ esistenti su C è dato da M — N , essendo M il numero dei di- 

 visori di v della forma 4h-\- 1 ed N il numero dei divisori di v della 

 forma 4h -J- 3. 



4. Se la curva G non è singolare, le sue infinite y\ si ottengono consi- 

 derando per ogni valore di n la y\* dei gruppi di punti w-pli delle oo l g%~ 1 

 appartenenti a C; se la curva C è singolare, essa, oltre queste infinite y\* che 

 si ottengono supponendo q — in tutte le formule precedenti, ne contiene 

 infinite altre. Dette singolari queste ultime y\ si determina subito per esse 

 il minimo valore che può essere assunto da v . 



Una discussione semplice e sostanzialmente nota, che qui si sopprime 

 per ragioni di spazio, conduce infatti al teorema: 



III. Se la curva C è singolare ed ha il determinante D > 4 , l'or- 

 dine delle sue y\ singolari d'ordine minimo è — oppure secondo 



che C è della prima o della seconda specie ; e il numero di queste y\ è, 

 corrispondentemente, uno o due. 



