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Nel caso delle curve armoniche ed equianarmoniche le y\ singolari 

 d'ordine minimo sono, rispettivamente, una y\ e una y\ . 



5. La classificazione delle curve ellittiche singolari in curve di 1* e 2* 

 specie e l'introduzione per esse del carattere D, il valore geometrico delle 

 quali risulta chiaramente dal teorema III, mostrano che a ricerche classiche 

 sulla teoria dei numeri e delle funzioni ellittiche a moltiplicazione com- 

 plessa può darsi un interessante significato geometrico. Il lettore lo rico- 

 nosce subito appena rifletta che i teoremi seguenti non fanno altro che 

 applicare alle curve ellittiche singolari risultati notissimi di quelle teorie. 



IV. Le curve ellittiche singolari aventi tutte uno stesso determi- 

 nante, si ripartiscono in un numero finito di classi di curve birazional- 

 mente distinte. 



V. Gli invarianti assoluti delle curve ellittiche singolari birazio- 

 nalmente distinte dello stesso determinante (ove l' invariante assoluto di una 

 curva ellittica, che è determinato a meno di un fattoi - costante, sia conve- 

 nientemente definito) sono numeri interi algebrici, radici di una stessa 

 equazione a coefficienti interi irreducibile (nel campo assoluto di razio- 

 nalità). 



VI. Una curva ellittica singolare di 2 a specie a determinante D è 

 birazionalmente identica a una involuzione (ellittica) di ordine 2 appar- 

 tenente a una curva ellittica singolare di l a specie col determinante 4D. 



VII. // numero delle curve ellittiche singolari di 2 a specie col de- 

 terminante D > 3 birazionalmente distinte, eguaglia quello delle curve 

 ellittiche singolari di l a specie a determinante 4D o la sua terza parie 

 secondo che « D=7 (mod 8) oppure D = 3 (mod8). 



Che se poi D = 3, i due numeri sono ancora eguali ed eguali en- 

 trambi a 1. 



6. Ad evitar malintesi sul concetto di y\ singolare non è forse inutile 

 avvertire esplicitamente che il numero delle involuzioni ellittiche di un 

 determinato ordine esistenti sopra una curva ellittica è sempre finito ed è 

 sempre lo stesso qualunque sia il modulo della curva. Ma variando il mo- 

 dulo può cambiare il numero delle involuzioni di quell'ordine birazional- 

 mente identiche alla curva. 



