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In luogo delle formule (8) avremo, dalla considerazione del triangolo 

 £zS della figura precedente e indicando con X /?„ la longitudine e la lati- 

 tudine di S rispetto all'eclittica e all'equinozio fissi. 



i sen ó = sen /? cos f -f- cos /? sen f sen -f- Vo) 



(12) ■ cos ó cos (g -\- a) = cos /?„ cos (X -{- ip ) 



I cos à sen (o -\- a) = — sen /?„ sen f -\- cos /S cos f sen (X -j- i^ ) . 



Conviene ora, in luogo delle coordinate X /S riferite all'eclittica fissa, 

 introdurre le coordinate X§ riferite alla eclittica attuale rispetto alla quale 

 sono dati dalle effemeridi astronomiche gli elementi del moto del Sole e 

 della Luna. La posizione dell'eclittica mobile rispetto alla fissa è data dalla 

 longitudine 77 del suo nodo ascendente e dalla sua inclinazione n. Per 

 semplicità porteremo sull'eclittica mobile l'equinozio fisso, intendendo cioè 

 di contare le longitudini sull'eclittica mobile a partire da un punto distante 

 ancora 77 dal nodo (*). Il triangolo formato dal punto S e dai poli delle 

 due eclittiche avrà per lati n , 90° — /S , 90° — ^ e due angoli saran no 

 90° — (X — 77) , 90° + (A — 77) e pertanto 



sen /? = sen /? cos n -f cos § sen ti sen [X — TI) 

 cos /S cos (X — 77)= cos cos — 77) 

 cos /?„ sen (X Q — IT) = — sen ^ sen n -f- cos /? cos tc sen (A — 77) . 



L'angolo n è così piccolo da poterne trascurare le potenze superiori alla 

 prima. Tenuto conto di ciò, sommando le due ultime equazioni moltiplicate 

 rispettivamente per cos (77 -f- 1/> ) e per — sen(77+t// ) e poi sommando 

 le stesse equazioni moltiplicate rispettivamente per sen (77 -{- ip ) e per 

 cos (77 -f- xp ) si trova 



sen /? = sen § -f~ n cos /? sen (X — 77) 



(13) < cos fi„ cos (X -f- = cos /? cos (X -J- j^ ) -j- 7r sen /? sen (77 -}- Vo) 



[ cos j? sen (A + t// ) = cos § sen (A -J- V<>) — 71 sen /S cos (77 -(- i// ) . 



Le formule (9), con procedimento analogo e ponendo poi 

 1 = cos 2 sen 8 \ i , cos i = cos 2 \i — sen 2 \ i 



ci daranno 



sen /S = sen i sen (/ — Sì) 

 cos /? cos (X -f- 1// ) = cos 2 j i cos (/ -f- 1// ) -f- sen 2 1 i cos (/ — 2 Sì — ìp ) 

 cos § sen (X -f- ^ ) = cos* | t sen (/ -j- ipr>) — sen 2 y i sen (/ — 2 Sì — tp ) 

 cos /? sen (X — 77) = cos 2 j i sen (/ — 77) - sen 2 j j sen (/ — 2 £ + 77) . 



(') Si confronti J. Bauschinger, Die Bahnbestimmung der Himmchkòrper , pag. 64. 



