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Geometria. — Fasci di quàdriche rotonde e Curve cartesiane,. 

 Nota de] Oorrisp. Gino Loria. 



I/osservazione, pubblicata di recente ('), che per la così detta « finestra 

 di Viviani » passano oo 1 quàdriche di rivoluzione ( 2 ), suggerisce natural- 

 mente la questione se esistano altre curve gobbe di IV e I specie, che 

 siano basi di fasci composti di superficie reali (cioè ad equazioni reali) 

 di II ordine rotonde ( 3 ). 



1. Per risolverla ricordiamo che una quàdrica di rotazione è caratte- 

 rizzata dall'essere bitangente al cerchio immaginario all'infinito J. Ciò 

 prova che uno dei fasci richiesto è tagliato dal piano all' infinito in un fascio 

 di coniche F tutte bitangenti a J . Ora, se i punti di contatto delle curve r 

 col circolo J fossero variabili, il fascio delle r avrebbe J per inviluppo, 

 mentre un fascio di curve piane non ammette inviluppo. In conseguenza le 

 coniche F toccano J in due punti fissi e del fascio fanno parte tanto il 

 cerchio J, quanto la corda di contatto (presa due volte) e le due tangenti 

 a J negli estremi di questa. Emerge da ciò che nel caso in discorso la 

 quartica base del fascio è l' intersezione di una sfera con una quàdrica 

 di rivoluzione. 



(') G. Tiercy, Sur la définition géométrique de la « Fenétre de Viviani » (L'en- 

 seignement mathématique, T. XIX, 1917, pp. 314-16). 



( a ) La finestra di Viviani è analiticamente definita da due equazioni della forma 



,r a -4- y 2 + 2 a — r 2 = . x 2 -j-y 2 — tx — ; 



perciò essa è caso particolare di una curva assai più antica, l'ippopeda di Eudosso ; 

 infatti questa si può rappresentare col mezzo delle due seguenti equazioni (cfr. F. Gomes 

 Teixeira, Obras sobre mathematicas, T. V, Coimbra 1909, pag. 324): 



x*+y*-\-z 3 —r* = , ,r a -f (y — af = (r — a)», 



le quali coincidono con le precedenti nel caso a = r/2 . Ora la maggior parte delle pro- 

 prietà avvertite dal Tiercy nella prima, sussistono anche nella seconda. Infatti è agevole 

 dimostrare: che per l'ippopeda passano oo 1 quàdriche, tutte di rotazione, eccetto il ci- 

 lindro parabolico 2 3 — 2ax -f- 2ar = ; che i loro centri stanno sopra l'asse delle x ; e 

 che fra essi vi ha un cono a punti immaginari \_a(x — r 2 -f- t/ 2 ) -j- rz* = 0], da contarsi 

 due volte fra quelli passanti per la curva. 



( 3 ) Notisi che, siccome in un fascio di quàdriche non se ne trova in generale al- 

 cuna rotonda, così per un fascio il contenerne anche soltanto una costituisce una specia- 

 lizzazione; onde non ogni quartica gobba di l a specie sta in una quàdrica di rivoluzione. 

 Giova anche osservare che il problema enunciato rientra in quello più generale della ri- 

 cerca dei fasci di quàdriche dotati di proprietà metriche particolari. Oltre quelli, a 

 cui è consacrata la presente Nota, citiamo il fascio determinato da due quàdriche equi- 

 latere, il quale è tutto costituito di superficie di tale specie. 



