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È facile vedere che tale condizione è, non soltanto necessaria, ma anche 

 sufficiente per ottenere un fascio costituito di quàdriche di rotazione. In- 

 fatti, rispetto ad un sistema cartesiano ortogonale, una quàdrica che sia di 

 rivoluzione attorno all'asse delle s si può rappresentare mediante un'equa- 

 zione della forma 



(1) .x 2 4-.y 2 + «^4-2^ + y = 0, 



mentre l'equazione generale di una sfera è 



(2) x 2 + y 2 -\-z 2 — 2ax — 2by — 2cz + p = 0, 



ove i coefficienti a , § ,y , a , b , c , p si supporranno tutti reali, affinchè sia 

 reale la curva d' intersezione. Perciò tutte le quàdriche del fascio così de- 

 terminato si possono rappresentare con l'equazione 



(3) {X + \) (x 2 -{- y 2 ) + {la + 1) j» — 2dw — 2by -f- 



+ 2(^ — C )2 + (ly + p) = 0, 



onde effettivamente sono di rotazione attorno ad assi paralleli a Oz; va sol- 

 tanto escluso il caso X = — 1 , chè allora la (3) diviene 



(4) (1 — a) z 2 — 2ax — 2by — 2 (p -f- 6) z -f- ( p — y) = , 



la quale appartiene ad un cilindro parabolico. Dunque: 



Una sfera ed una quàdrica di rotazione determinano un fascio di 

 cui tutti gli elementi sono superficie di tale specie, eccezion fatta per 

 un cilindro parabolico; i loro assi sono rette fra loro parallele. 



2. Il discriminante D(X) del primo membro dell'equazione (3) è dato da 



D(A) = (X + 1) \ (X + 1) [(«A + 1) (yX - (Xfi - e)*} - (a 2 + *') (al + l)f 



mentre in esso il suddeterminante complementare B(X) del termine noto 

 Xy -\- p è espresso come segue: 



B (A) = (A -f- l) 2 («A -j- 1) . 



Emerge da ciò : l 8 che D (X) si annulla, oltre che per il valore già 

 considerato X — — 1 , per altri tre, uno dei quali certamente reale (gli altri 

 due supporremo in seguito sempre distinti); 2° che l'equazione B(A) = 

 ha una sola radice, oltre la radice doppia X = — 1. Dunque: 



Per la quartica d' intersezione di una quàdrica di rotazione con 

 una sfera entrambe reali, passano in generale tre coni quàdrici, uno dei 

 quali ad equazione sempre reale ed inoltre un solo paraboloide (mentre 

 in generale una quartica di prima specie sta su tre paraboloidi), il quale è 

 ellittico ed a equazione reale: 



(4) (a — 1) (x 2 -j- y 2 ) — 2a (ax + l>y) — {fi -f cu) Z + (pa — y) = . 



