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3. Siccome nel fascio di quàdriche che stiamo studiando si trovano 

 sempre due coni, le cui equazioni sono reali od immaginarie coniugate, così 

 noi potremo servircene per individuare il fascio stesso. I loro vertici sono 

 reali od immaginari coniugati, onde il loro punto di mezzo è sempre 

 reale; i loro assi saranno due rette reali o immaginarie coniugate di 1* specie 

 (perchè hanno reale un punto all' infinito) ; assumeremo per origine di un 

 sistema cartesiano ortogonale e per asse delle s la parallela condotta da 

 esso alla comune direzione degli assi dei due dati coni. Siccome è sempre 

 reale anche la congiungente dei vertici di questi, così essa determina con 

 Os un piano reale in cui sceglieremo l'asse delle x. In conseguenza i due 

 coni si potranno rappresentare mediante le due equazioni : 



(5) (x-ay + y* = ±-(t-cy , (x + a)* + y* = — (2 + cf . 



Se le quantità a , c , fi ,v sono reali, i coni hanno reali i vertici e le 

 equazioni ; se di più /li > il primo è a punti reali e lo è il secondo 

 quando v > . Se invece i due coni sono immaginari coniugati a e c sono 

 quantità immaginarie pure, mentre /t e v sono numeri complessi coniugati. 



Tutte le superficie del fascio sono rappresentate, al variare di X , dal- 

 l'equazione 



(6) {fi -f- Xv) [x- + if) - (1 + X) s'- —2a (/( — Ir) x -f-2tf(l — + 



+ a 2 (m -f- Xv) — 1 1 -j-l)f ! = 0; 



se le equazioni (ó) sono a coefficienti reali, le superficie reali del fascio (6) 

 si ottengono attribuendo al parametro X valori reali ; nel caso opposto, affinchè 

 dalla (6) scompaia ogni traccia d'immaginario, è necessario e sufficiente 

 che X sia della forma — XJ X t , essendo X, e X 2 numeri complessi coniugati. 



Il centro della superficie rappresentata dall'equazione (6) ha per coor- 

 dinate 



._. a — v X r 1 — X 



(7) x==a \TTv~x ' y = {) ' s = c T+x 



onde, per gli anzidetti valori del parametro, è sempre reale, sta nel piano xs 

 ed ha ivi per luogo geometrico l' iperbole equilatera di equazione 



8 x + a)(z — c f - 1 = ■ 



\ /il — v ) \ /i — vi (/i — r) 2 



Perciò : // luogo geometrico dei centri delle quàdriche del fascio con- 

 siderato è un'iperbole equilatera ('), il cui piano contiene gli assi di 

 tutte le superficie del fascio stesso. 



(') In generale il luogo geometrico dei centri delle quàdriche di un fascio è una 

 Rendiconti. 1918, Voi. XXVII, 1° Sem. 28 



