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4. Consideriamo alcune superficie speciali del fascio (6). 



a) Per A = — fx/v l'or citata equazione diviene 



(9) _ „) ^ _ 2«0 2 — v 2 ) a; + 2e -f r) z — — v) c % = , 



equazione sempre reale che rappresenta un cilindro parabolico. 



b) Il discriminante D(A) del primo membro della (6) è dato da 



(10) D(A) = 4H« ■ + rA) [(p + vA) <?« — a>r(l 



L'equazione D(A) = 0, considerata come biquadratica in A, ha per 

 radici , oo , — ju/r, le quali corrispondono ai due coni ed al cilindro pa- 

 zzie? 2 — a^v} 



rabolico, di cui sopra; la quarta radice vale — -~ r— f , quindi è 



v{c* — q?fi)\ 



reale se tali sono ì coni dati, mentre ha la forma — X x jX 2 se questi sono 

 immaginari coniugati; onde in ogni caso il terzo cono del fascio ha una 

 equazione reale. Affinchè esso sia a punti reali è necessario e sufficiente 

 [v. l'equazione (6)] che sia 



fi -4- vX . 



1+2 



>0; 



ora dalla (10) risulta che per la quarta radice dell'equazione (10) si ha 



fi -4- vi a 2 fiv 

 1 + A 



quantità reale e positiva tanto quando a , e , fi , v sono reali ed inoltre 

 l-i > e v ^> oppure \x < e v <C , quanto allorché a , sono quan- 

 tità immaginarie pure e fx , v sono immaginarie coniugate. Ciò dimostra 

 che: La curva d'intersezione di due coni di rotazione ad assi paralleli 

 giace sopra un terzo cono a punti reali, sia quando i due coni dati 

 sono entrambi a punti reali, sia quando entrambi sono soltanto ad equa- 

 zioni reali, sia finalmente quando sono immaginari coniugati. 



c) L'equazione (6) rappresenta una sfera quando e solo quando il pa- 

 rametro X soddisfa l'equazione 



((i + vX) + (X+l) = 0. 



Da questa si trae 



;.=. " + 1 



>■ + r 



cubica gobba; ma.se nel fascio si trova un cilindro, il suo asse si separa da detto luogo 

 (e appunto ciò accade nel fascio in discorso) ; mentre tale distacco si verifica due volte 

 quando la sua base è un ippopeda di Eudosso od una finestra di Viviani (v. più sopra). 



