valore reale se tali sono fi e v, della forma — XJX % se fi e v sono quan- 

 tità immaginarie coniugate; in ogni caso, quindi, la sfera risultante è ad 

 equazione reale. Questa può scriversi come segue: 



/ 2fiv-\-fi-\-vV , / [i + v-\-2 y 



_ 4^(^+l)( y + l) 4(^ + l)(r + l) o 



- (n-v)* + (,»_,•)» 



Ora l'espressione che sta al secondo membro è evidentemente positiva 

 se a,c,fi,v sono reali e , v sono positivi; malo è anche quando a e c 

 sono quantità immaginarie pure e fi , v complesse coniugate. Emerge da 

 ciò che: La curva d' 'intersezione di due coni di rotazione ad assi paral- 

 leli si trova sopra una sfera a pùnti reali tanto se quei due coni sono 

 pure a punti reali, quanto se essi sono immaginari coniugati. 



Combinando fra loro le due ultime proposizioni si ottiene il seguente 

 risultato: La curva d' intersezione di due coni di rotazione ad assi pa- 

 ralleli può considerarsi come intersezione di una sfera e di un cono di 

 rotazione entrambi a punti reali, tanto se i due coni sono a punti reali, 

 quanto se essi sono immaginari coniugali. 



Nel primo di questi casi la curva è digrammica. nel secondo (se con- 

 tiene infiniti punti reali) è monogrammica ( 1 ). 



5. La quartica in cui si tagliano i due coni (5) si proietta ortogonal- 

 mente sul piano xy nella curva di equazione 



Vv(x+~a 2 + y 2 ) — Vnicc^a 2 + ij 2 ) = 2c; 



è questa una curva di 4° ordine avente per cuspidi i punti ciclici del piano 

 e per fuochi i punti dell'asse delle x le cui coordinate sono 



a , — a , a — ! ( 2 ). 



fi — v a fi — v 



Risulta da ciò che, se i dati coni sono reali, tali sono anche questi 

 fuochi; ma che, se sono immaginari, è reale il solo terzo fuoco. 



Nel primo caso la proiezione consta di una coppia di ovali di Cartesio, 

 fatto importante, notato per la prima volta da A. Quetelet ( 3 ). Nel secondo caso 



(') L. Cremona, Grundzùge eines allg. Theorie das Oberflàchen, deutsch von M. 

 Curtze (Berlin, 1870), pa<r. 224. 



( a ) Per la dimostrazione di tale asserto rimando alla mia opera: Spezielle allg. uni 

 trans, ebene Kurven, II Aufl., I Bd. (Leipzig, 1910), pp. 179-80. 



( 3 ) Cfr. M. Chasles. Apergu historiquc, 2 e éd. (Paris, 1875), pag. 351. 



