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la quale, essendo razionale intera in M,N, porta seco l'invarianza dei 

 coefficienti di N 2 , M 2 , MN ; quindi 



Jì ~F G _ 



E F G ° 



e dev'essere o"=l perchè l'invariante è omogeneo di grado 1/3 nelle E, F,G. 

 La trasformazione è un'applicabilità. 



La stessa conclusione vale se per ogni valore di M/N vi è più di un 

 sistema di valori delle derivate di M ed N che soddisfi alla condizione 

 d' invarianza. 



Se una trasformazione puntuale di una superficie conserva la cur- 

 vatura geodetica di un doppio sistema oo 2 di curve (cioè tale che vi siano 

 due curve del sistema cui appartenga una tangente alla superficie) la 

 trasformazione è necessariamente un'applicabilità. 



2. Questo teorema esclude che due superficie di Liouville, in corrispon- 

 denza geodetica, posseggano un altro sistema oo 2 , oltre quello delle geode- 

 tiche, di curve a curvatura geodetica invariante. Ma non è escluso che esi- 

 stano sistemi oo 1 di tali curve. Se si cercano le curve a curvatura geodetica 

 invariante per i due ds 2 scritti in principio del n. 1 si trova, tenendo conto 

 dell' invarianza dell'equazione delle geodetiche, che esse sono definite dalla 

 equazione differenziale 



— ,, ^ du l = ^ Jr ^ dv 2 , 

 iJ V 



quindi in termini finiti 



Jj/ U tj 1 du = ± j°y ~~ dv + cost. 



Ogni rappresentazione geodetica fra superficie di Liouville lascia 

 invariato J oltre il sistema oo 2 delle geodetiche j un doppio sistema co 1 di 

 curve insieme con la curvatura geodetica. Queste curve sono simmetriche 

 rispetto al doppio sistema isotermo che serve di base alla rappresentazione. 



Questo doppio sistema non è in generale costituito da geodetiche; in- 

 fatti, imponendo che lo sia, si trova un'equazione differenziale in U e V 

 che non è identicamente soddisfatta. 



3. S' intende che se una trasformazione puntuale lascia inalterata la 

 curvatura geodetica delle curve di una V ft , è necessariamente un'applica- 

 bilità ( 1 ). 



Un'altra proprietà, più interessante, che può definire le applicabilità di 

 una V ft (k > 2) si ottiene considerando in luogo della totalità delle curve 



l 1 ) Della rappresentazione geodetica fra varietà mi occuperò in un altro lavoro. 



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