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(e l' invarianza del loro elemento lineare) la totalità delle superficie conte- 

 nute in V ft e prendendo come carattere invariante nella trasformazione la 

 loro curvatura gaussiana ('). 



Il problema che ci poniamo è quindi il seguente : 



Deformare una varietà in modo che si conservi la curvatura gaus- 

 siana in ogni punto di una qualsiasi superficie immersa in essa. 



Si tratti di una varietà a tre dimensioni, V 3 ; nel caso di una varietà 

 a più dimensioni basta pensate alle V 3 immerse in essa per convalidare il 

 risultato. 



Le coordinate cartesiane ortogonali di un punto generico della varietà 

 siano Xi (r, , t 8 , t 3 ) , i — \ ,...,» ; se le variabili x sono, come debbono 

 essere, essenziali, in un punto generico della varietà è 



A 2 = 



~òXi 



l>r 3 



+ 



Se il quadrato dell'elemento lineare della varietà è dato da 



1,2,3 



ds 2 = 2. a rs dx r dv s , 



r,s 



per la isometria ( 2 ) di due varietà è necessario e basta che siano uguali 

 le a rs in punti corrispondenti. 



Una superficie entro la varietà sarà assegnata dando le % in funzione 

 di due nuovi parametri u , v ; la curvatura gaussiana della superficie descritta 

 dal punto Xi (u , v) è data da 







~òXi 





~ÒXi* 





1u 





~òu 





~òu 



5 | 



. ~ÒXi 





~ÒXi 





l)Xi 





~iv 





~òv 





~ÒV 





Ycoì 









l?Xi 





7)W 2 





7>y* 





Ì)U ~ÒV 





1U 



l)Xi 



~ÒV 



( l ) Se si assume come carattere invariante nella trasformazione della l'elemento 

 d'area delle sue superficie si perviene pure subito all' isometria. 



( a ) Diremo che due varietà sono isometriche quando hanno uguali i quadrati degli 

 elementi lineari corrispondenti : com'è ben noto può essere, in relazione alla dimensione 

 dell'ambiente, che non esistano altre varietà isometriche ad una data all' infuori di quelle 

 ugnali (per movimenti). 



