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divisi per A . Se con questi invarianti formiamo un nuovo determinante, 

 esso vale, in virtù di un teorema noto, A, il quale è dunque invariante. 

 Tali sono anche i complementi algebrici delle a rs in A 2 : e di conseguenza 



le a rs stesse. 



Si abbiano due varietà a A>3 dimensioni poste in corrispondenza 

 tale che due superficie corrispondenti qualsiansi abbiano in punti corri- 

 spondenti la stessa curvatura gaussiana: le varietà si corrispondono ne- 

 cessari amente in un isometria. 



È inutile esaminare le altre condizioni che si ricaverebbero dall'inva- 

 rianza della curvatura di una superficie generica della V ft perchè la condi- 

 zione trovata è certo sufficiente ; del resto si verifica facilmente che le espres- 

 sioni invarianti rimanenti si costruiscono con le a rs e con i simboli di 

 Christoffel e con le loro derivate. 



Si può invece utilmente osservare che la condizione imposta a tutte le. 

 superficie della varietà è esuberante. 



Infatti, prese due varietà poste in corrispondenza puntuale qualsiasi, 

 l'uguaglianza delle espressioni della curvatura K fornite dalla (1) per le due 

 varietà corrispondenti si traduce in un'equazione a derivate parziali di 2° 

 ordine e di 2° grado ; quindi, se per ogni sistema di valori t x , t 2 , t 3 , 



DT 3 7)T 3 ~^T 3 "3**3 ... t . ,. ,, • . -, 



— , — . — - , — - si ottengono 3 valori di . 1 equazione e ìden- 



"3*1 7>*2 IitÌ 7)t* & Dr 2 * 



tica e si può ripetere il ragionamento già fatto. 



Per enunciare il risultato in forma geometrica, consideriamo l'elemento 

 di 2° ordine <r 2 di una superficie adiacente ad un suo punto (definito da 

 t,,t 2 ,t 3 e dalle derivate prime e seconde di t 3 ): esso ha la curvatura 

 gaussiana di ogni superficie che lo contenga. Fissando , t 2 , t 3 e le dell- 

 'i) 3 T 



vate ora dette ad eccezione di — , si ha un fascio di elementi a 2 . 



tutti fra loro tangenti nel punto e osculatori a due linee uscenti da esso 

 (cioè contenenti gli elementi di 2° ordine di queste linee uscenti dal punto). 

 Allora : 



Se una trasformazione puntuale fra due V 3 è tale che in ogni 

 fascio di elementi c 2 corrispondenti ve ne siano tre con la stessa cur- 

 vatura* gaussiana, le due V 3 sono isometriche. 



Lo stesso enunciato vale per una V ft , quando si sia definito in modo 

 analogo il fascio di elementi superficiali. 



Ad un altro criterio per l' isometria si arriva prefissando un valore 

 di K (arbitrario acche costante purché ={= 0) e imponendo che sulle due 

 varietà si corrispondano gli elementi superficiali che hanno quella curvatura. 



La condizione che sulle due varietà si corrispondano gli elementi su- 

 perficiali di 2° ordine a curvatura nulla esige un esame differente che sarà 

 fatto in un'altra Nota. 



