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Il sistema (I) , (II) oppure l'equivalente (I') , (II), deve essere soddi- 

 sfatto in tutto lo spazio. Si tratta di dimostrare che lo spazio (2) è al- 

 lora necessariamente euclideo. La necessità di questa dimostrazione è posta 

 in evidenza dal Levi-Civita (4°, I, § 3 in nota) di cui riporto le parole : 



« L'affermazione è intuitiva sotto l'aspetto fisico, rispecchiando, si può 

 dire, il punto di partenza della costruzione speculativa di Einstein. Dal 

 punto di vista matematico si richiederebbe invece una dimostrazione rigo- 

 rosa in base alle equazioni che racchiudono ormai tutta la teoria » . 



Credo d'esser riuscito a dimostrare l'asserzione in due modi, conside- 

 rando rispettivamente i due sistemi di equazioni di cui è detto sopra. 



§ 1. Prima dimostrazione. — La funzione V (velocità della luce), ■ 

 deve essere regolare (colle sue derivate fino al secondo ordine) e soddisfare 

 alla (F), in tutto lo spazio. Consideriamo allora il luogo dei punti 



(3) V(ccì , x 2 , #3) = y (costante). 



Esso potrà- essere costituito di punti, linee, superfici (isolati) od anche 

 volumi che chiamerò (per una evidente analogia), puntij linee ecc. di livello. 



Siccome la V è sempre finita, la costante y avrà un minimo X ed un 

 massimo jit . 



Uno di questi valori potrà essere preso dalla V nei punti all' 00 dello 

 spazio, ma allora l'altro è preso in punti al finito. Supponiamo sia ^t* : sic- 

 come poi V — \x si trova nelle stesse condizioni di V, potremo sempre sup- 

 porre il massimo uguale a zero. Allora il luogo dei punti 



(4) V = 



sarà costituito da punti, linee, superfici (isolati), volumi di massimo. 



Con ciò si intenderà, prendendo p. es. un punto P (isolato) di massimo, 

 che esista un intorno di P in cui V < . Così potrà esservi un volume S 

 in cui V = , mentre nei punti esterni ad esso V < 0. Dimostrerò che ciò 

 è impossibile. 



Infatti per uno spazio curvo qualunque vale la seguente formola, do- 

 vuta al Beltrami ( l ) : 



(5) J\.z/ 2 VdS+ j j x Yd8 = — j V - — da, 



dove S è un volume, a la superficie che lo limita e di cui v è la normale 

 interna. 



I 1 ) Vedi E. Beltrami, Sulla teoria generale dei parametri differenziali. Opere, 

 tomo II, pag. (108), formola (8). Da questa si deduce la nostra (5) facendovi U = V. 



