In particolare, se la V soddisfa alla (T), avremo 



(so j t j,xds=-jy^. 



Si osservi che la (2) è per la sua natura una forma quadratica defi- 

 nita, positiva: tale dovrà essere anche la sua reciproca e quindi 



3 -nV -\y 



(6) J,V=^_ a (rs) — — >0, 



ed è = solo se tutte le si annullano. 



Sia ora P il supposto punto (isolato) di massimo. Si potrà allora tro- 

 vare un suo intorno in cui V < 0. Le superfici di livello che circondano P 

 corrisponderanno, per un intorno sufficientemente piccolo, a valori decrescenti 



di y (dato che V ha un massimo in P). Sia <s una di queste superficie. Su 



dV 



essa avremo V = s < e — < 0. Il secondo membro della (5') è quindi 



negativo, mentre il primo è positivo. L' uguaglianza (5') è quindi impossi- 

 bile, ed è perciò assurdo supporre l'esistenza di un punto P di massimo ( J ). 

 Analoga dimostrazione si ha pel caso di linee, superfici, o volumi di massimo. 



Una difficoltà si avrebbe nel caso che linee, superfici o volumi di mas- 

 simo si estendessero in parte all' infinito, potendo allora non aver significato 

 gli integrali della (5'). 



Consideriamone un caso. Sia 2 una superficie (isolata), estendentesi in 

 parte all'oo e su cui V ha il valore massimo zero: prendiamone un punto Q. 

 In un suo intorno sufficientemente piccolo è sempre V < : inoltre, dimi- 

 nuendo eventualmente l' intorno, si potrà fare in modo che sulla superficie <r 

 dV 



che lo limita sia — < (e ciò per la proprietà di massimo della V in Q). 



Sarà solo V = nei punti comuni all'intorno e a 2, ed eventualmente 

 dY 



— == nei punti comuni a 2 e e Ciò posto, è chiaro che la (5') non può 



essere soddisfatta. E così per gli altri casi. 



Dal ragionamento che precede si deduce che deve essere X = /n e quindi 



(7) V = c (costante assoluta). 

 Ma allora dalle (li), essendo V tft = 0, deduciamo 



(8) «« = 0. 



he (8) indicano precisamente che lo spazio è a curvatura nulla, cioè 

 euclideo. 



( l ) Se V = fosse un minimo si avrebbe sulla a V = «>0,-^>0 e quindi la 



dv 



medesima impossibilità per la (5') 



