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§ 2. Seconda dimostrazione. — Dacché per ipotesi manca ogni azione 

 perturbatrice, si può in particolare desumerne che il nostro spazio (2) è 

 simmetrico intorno ad ogni suo punto. Si può allora mettere il di 2 sotto 

 la forma (') 



(9) di 2 = dg 2 + a 2 (g) [do 2 + sen 2 6 dtp 2 ] . 



La (9) riferisce il nostro spazio alle coordinate polari geodetiche col 

 polo in un punto P: g rappresenta la distanza geodetica da P. Le <p = cost 

 rappresentano superflci geodetiche passanti per P ( 2 ). Per ognuna di esse 

 la curvatura gaussiana in P è data dalla nota formola ( 3 ) 



jr _j_ 



«(9) ^ ' 



facendovi <r/ = 0: essa è identica per tutte le dette superflci. 

 Si osservi ora che le forinole di trasformazione per cui 



dd 2 + sen 2 6 dy>* = d6\ -f- sen 2 e, d<p\ , 



contengono ao 3 parametri. Tutte le superflci y x = cost sono geodetiche ed 

 hanno in P la medesima curvatura gaussiana. Le oo 2 superflci geodetiche 

 passanti per P hanno ivi quindi la medesima curvatura gaussiana. 



Ma questo fatto si verifica per ogni punto del nostro spazio. Infatti in 

 un altro punto P, rispetto a cui lo spazio deve pure essere simmetrico, 

 avremo 



dl\ = dg\ -j- a 2 [d®* + sen 2 d<P 2 ] . 



Per il teorema di Schur il nostro spazio deve essere quindi a curvatura 

 Riemanniana costante ( 4 ). 



Ma essendo, per la (I), la curvatura media nulla, la curvatura Rieman- 

 niana è nulla, quindi lo spazio è euclideo ed avremo a ik = 0. 



Prendendo allora per x x , x% , x 3 coordinate cartesiane, avremo dalle (II) 



^ 2 V 



— 7 = (t , A = 1 , 2 , 3) 



quindi 



V = Ci x x -f- <?2 %2 + c-i x 3 + c 

 con c , ci costanti. Ma V deve essere sempre Anita, cosicché 



V = c. 



(*) Vedi A. Palatini, Lo spostamento del perielio di Mercurio e la deviazione dei 

 raggi luminosi secondo la teoria di Einstein. Nuovo Cimento, luglio 1917. La (9) è la 

 formula (5) del § 2 con leggero cambiamento nelle notazioni. 



( a j Vedi Palatini, loc. cit, § 3. 



( 3 ) Vedi Bianchi, Lezioni di Geometria differenziale, Pisa, Spoerrl, 1902, voi. I, 

 cap. VI, § 89. 



(*) Vedi Bianchi, loc. cit., § 161. 



