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essendo [b~\ , [«] , [y~] rispettivamente le lunghezze ridotte (Christoffel) degli 

 archi geodetici b , a , y . 



Riferiamo la superficie a coordinate geodetiche polari, polo nel vertice C, 

 e, adoperando le stesse notazioni del Darboux (capitolo Vili del libro VI), 

 chiamiamo u , v le coordinate di A ; u , v quelle di B ; 6 la lunghezza 

 dell'arco geodetico AB. Avremo 



(4) u Q = b , u = a , v — v = G , 6 = c ; 

 e poi 



(5) d 2 = w 2 -|- u\ — 2 uu cos (v ~ v ) -4- 2 u\ ip sen 2 (y — y ) , 

 essendo 



(6) V = p + ~Q^ + ^Qo^o + --- (')■ 



Inoltre 



(7) senA = — , seri B = — ( 2 ), 



dove A (coefficiente dell'elemento lineare ds* — du 2 -\- X* dv z della super- 

 ficie) s' intende calcolato nel punto (u , v), mentre A è calcolato nel punto 



(«o , y )« 



Dalle (5) e (7) segue 



~}~ u — u ) (0 -\-u — u)-\-2 uv [cos (v — r ) — 1] 20tpuu Q X 



sen A sen (v — v ) <s ' 



essendo 



(9) a = 1 -}- 2 uu Q xp cos (y — y ) — ww sen (y — y ) . 



~òv 



Il 2° membro della (8), quando il vertice B tende al punto D, ammette 

 limite ben determinato; dunque anche il 1° membro ammette limite. E ab- 

 biamo, denotando con tp* quel che diventa tp (funzione di u , v , u , v ) per 

 u = a , v = v e badando alla l a delle (7): 



2y ii m 6 + u — u « _|_ 2 lim 6 UU ° X ° ^ C ° 8 (y ~ ~ ^ = 2«/m A t/;* 

 A(y — v ) <fuu sen 2 (y — y ) 1 -f- 2 au x/J* ' 



2y lim 



ossia 



A(y — y„) l-\-2ccu ip* l-{-2au tp 

 dalla quale 



lim 



a= ,»=o A (v — y ) 2 



(») Darboux, III, pp. 166-167. 

 ( 8 ) Ibidem, pag. 169. 



