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Matematica. — Le trasformazioni puntuali di una varietà 

 ohe conservano le superficie a curvatura nulla. Nota di E. Bom- 

 piani, presentata dal Socio G. Castelnuovo. 



1. Alla ricerca delle trasformazioni indicate (') premetto il seguente 

 teorema : * 



Una trasformazione puntuale fra due V ft che faccia corrispondere 

 le geodetiche delle Vj, corrispondenti [con Ti fissalo <i k) è necessaria- 

 mente il prodotto di una isometria per una similitudine. 



Basterà dimostrare il teorema per le V A+ , ; per k > h -f- 1 esso ne ri- 

 sulterà dimostrato a più forte ragione. 



Sia P un punto di V h+I e P' il corrispondente di V^, ; sia inoltre t 

 una direzione di V h+1 in P e n un elemento di ortogonale in P a t 

 entro V h+1 ; vogliamo mostrare che gli elementi corrispondenti t' e n' rela- 

 tivi a Vjj + , sono ortogonali. Le superfìcie geodetiche di Vh+i osculataci 

 alle geodetiche g di V ft in P sono tangenti a t. 



Poiché ogni g si muta in una geodetica g' di Vj,, le superficie geo- 

 detiche osculatrici alle g' toccano t\ quindi t' è ortogonale a rì\ la tras- 

 formazione è dunque conforme: essa non conserva le geodetiche, a meno che 

 il rapporto fra elementi lineari corrispondenti sia costante: c. v. d. 



Per dare una dimostrazione analitica di questo teorema supponiamo 

 h = 2 ; il tipo della dimostrazione è identico per h qualsiasi. 



Sia 



(1) ds % = 2 ars di r dx s (r,s = l,2.3) 



r,s 



il quadrato dell'elemento lineare della V 3 ; fisseremo una superficie er entro 

 la V 3 ponendo t 3 = r 3 (t ì , t 2 ) : scriviamo a e /tf in luogo di — - e — 3 . 

 Il quadrato dell'elemento lineare di e e 



(2) ds\ = b u dr\ -\- 2b i2 dr l dr 2 -\- b ì2 di\ 

 ove 



#n = «ii + 2a <z 13 -f- a* fl 3S , b tt = a n -f- 2/S a ri -f- f a 3ì , 



^12 =«12+ « «23 + fi «13 + «1^ «33 • 



(') Ve li la mia Nota: Nuovi criteri per r isometrici di due superficie o varietà 

 [questi Rend., voi. XXVII, pa<j. 230]. 



