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Per l' invarianza delle geodetiche di a devono essere invarianti i aim- 

 boli di Christoffel seguenti: 



(Ili (22) (11) _o(12j (22) _ (12) 

 ( 2 j. ' \ 1 % ' ( 1 )a ( 2 j. ' ( 2 !. 48 j 1 i. 



costruiti sulla forma (2). Si ha 



pin Ì2*u , i ^ii 



L 1 Ja 2 Dt, " + " 2 " ^ 3 



ril~| Db iZ _ 1 7>^u , ^12 _ 1 g 



(ii) è 12 riin &„riin R , . w 

 W. TLiJ. + T-LaJ. ove B -^*«-«- 



L' ultimo simbolo contiene, delle derivate seconde di t 3 , soltanto 



7)a 



col coefficieate 



— ^ (« 13 + ««33) + ^ (« 23 + fl 33 ) 



^il quale è dunque invariante; e per l'arbitrarietà di a e § sono pure in- 

 varianti, come si calcola immediatamente, A 23 /A 3 3 e A 12 /A n ('); e per 

 simmetria anche A 12 /A M , A 13 /A n , A 21 /A 22 , A 23 A 2 , , A 31 /A 33 , A 32 /A 33 . 

 In seguito a ciò il sistema di equazioni 



a ìr A, s a ir A 2s + a 3r A 3 , = 

 air A u -{- a 2r A 2 , + a 3r A 3( = 



nelle incognite a rs è invariante per la nostra trasformazione e definisce le a r , 

 a meno di un fattore di proporzionalità ; quindi i coefficienti a' rs della va- 

 rietà trasformata sono legati alle a rs dalla relazione a' rs = Xa rs . 



Quanto poi alla natura di X essa si conclude subito osservando che 

 anche le geodetiche della varietà sono invarianti nella trasformazione, quindi 

 per esempio 



(li) air ai) / a IMA - A !ì^ + a 1MÌ\ 



(') Ars è il complemento algebrico di a rs nel determinante con esse costruito, di- 

 viso per il determinante stesso. 



