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o, aggiungendo le altre equazioni che si ottengono per simmetria, 



Ail IMI +Al! 2Mi + Ai ,2Mi = (i = i, 2)8) 



jTj dFj 



cioè A = costante ('). 



2. Esaminiamo le trasformazioni puntuali di una V s che conservano le 

 superfìcie a curvatura nulla: calcoleremo questa rispetto all'ambiente euclideo 

 contenente la V ft . 



Sono dunque invarianti nelle trasformazioni in esame le superficie a 

 curvatura nulla di una V 3 qualsiasi immersa in V ft . 



Per l'espressione già scritta della curvatura ( 2 ) si trova che debbono- 

 essere invarianti le espressioni 



(1) 



A 2 







~t>Xi 







Iti 



~ÒXi 







ìit 2 





Iti 



7>JCì 













e: 



~òt 3 

 1)1% 



r -j- s = 2 



(2) 



A 2 



lìti 



Iti 



Ef 



~òX{ 





~ÌXi 



~òt 3 





iti 













~òt 2 



+ « 



E- 2 



~òXi 

 ~òt 3 



r a ~ — 



ut 3 



oXf . _ ~òXì 



E" 



( 3 ) 



(ove si è posto — = a , — = #) qualsiansi a e §. 



\ Iti Iti ! 



Sviluppando la (1) e tenendo conto dell'arbitrarietà di a e § si ha 

 l'invarianza delle seguenti espressioni: 



(') Altre condizioni da ricercare evidentemente non vi sono, perchè quelle trovate 

 sono sufficienti; per la trasformazione da esse individuata le equazioni delle geodetiche 

 sono invarianti. 



(') Vedi Nuovi criteri ecc., form. 1. 



(•) E'" = ^ + 2 -^L. « + ^ «• ; e!' = ^^- + «^^- + 



