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A ' 



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 A 2 



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A 2 



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a 



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II 



h 





l 





h 



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k 





l 



kl 





Ik 





hk 



ove si è scritto per brevità 



h 

 k 

 rs 



in luogo di 



~ì)Xi 



Queste espressioni si costruiscono con i coefficienti a rs e con le loro 

 derivate prime e seconde; si hasno quindi, oltre le condizioni portate dalle 

 (3-5), nuove equazioni a derivate parziali del 2° ordine alle quali debbono 

 soddisfare i coefficienti della varietà trasformata a rs . 



Queste equazioni, come le altre ricordate, rimangono invariate, sostituendo 

 alle funzioni incognite altre proporzionali: ma non si può escludere che esi- 

 stano soluzioni non proporzionali fra loro. Ciò in generale non accade certo 

 quindi per una V 3 generica sussiste l' ultimo teorema enunciato per una V*. 

 Per tipi particolari di V 3 possono esistere trasformazioni diverse da quelle 

 trovate che conservano le superficie a curvatura nulla. 



Tali sono gli S 3 (euclidei) per i quali le trasformazioni omografiche 

 conservano le superficie a curvatura nulla (sviluppabili). Ciò non vale in 

 uno Ss (k > 3) perchè in esso le superficie a curvatura nulla non sono ca- 

 ratterizzate proiettivamente, quindi non sono invarianti per il gruppo delle 

 omografie ('). 



C 1 ) Una discussione completa del caso k = 3 può farsi solo in base alla conoscenza 

 dei tipi di V 3 rappresentabili geodeticamente (senza essere applicabili) sulle varietà tras- 

 formate, al quale problema, come ho accennato nella Nota già citata, ho dedicato un 

 altro lavoro. 



