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Matematica. — Sulle superficie rigate. Nota di C. Burali- 

 Forti, presentata dal Corrispondente H. Marcolongo. 



Sia P il punto generico di una linea di arco s ( l ) ed u un vettore 

 unitario funzione di s. La retta Pu descrive, col variare di s. una rigata 

 sulla quale è tracciata la linea P. Detto y l'angolo che t fa con u, deri- 

 vando rispetto ad s la tXu=cos9> si ha, indicando le derivate con gli 

 apici. 



(a) (1/q) n X u -f- 1 X u' = — y'sen</>. 



La linea P è una geodetica della rigata solo quando n X u = , per 

 ogni s, perchè il piano tangente in P alla rigata è normale al vettore t Au 

 e si ha = n A (t A u) = n Xu .t solo quando nXu = 0. 



La linea Pèdi stringimento per la rigata solo quando t X u' = 0, 

 perchè, essendo il piano assintotico ( c ) normale ad u A u' solo in quel caso 

 si ha = (tAu)X(uAu') = — tXu'. 



La linea P è traiettoria delle generatrici della rigata solamente 

 quando, ed è ovvio, (f = cost , cioè y>' = . 



Dunque la (a) esprime che: « se una linea di una rigata ha due delle 

 proprietà seguenti ; è geodetica ; è di stringimento ; è traiettoria delle ge- 

 neratrici ; ha anche la terza » . Cioè abbiamo dimostrato in modo del tutto 

 elementere un noto teorema di Bonnet senza ricorrere alla curvatura geode- 

 tica e ai simboli di Christoffel 



Questa notevole semplificazione della dimostrazione del teorema di 

 Bonnet lascia prevedere altre semplificazioni per la teoria generale delle 

 rigate, non escluse le questioni che riguardano la loro flessione. In questa 

 Nota stabilisco appunto il procedimento fondamentale e generale che è tanto 

 semplice da poter dare anche la curvatura media (che per la sua eccessiva 

 complicazione si trascura con gli ordinari metodi algebrici) dalla cui espres- 

 sione si ricava immediatamente il noto teorema relativo alle rigate di area 



(') Si considerano i soliti elementi t , D ,b , Q , x legati dalle formule di Frenet. Per 

 le sup. rigate e le linee si possono esaminare i miei lavori seguenti : (•) Introduction à 

 la Geometrie differentielle (Gauthier-Villars. Paris, 1897); ( b ) Lezioni di geometria me- 

 trico proiettiva (Bocca, Torino, 1904); ( c ) Geometria analitico proiettiva (G. B. Petrini, 

 Torino, 1912); (*) Fondamenti per la geometria differenziale su di una superficie (Rend. 

 Palermo, tomo XXXIII); ( e ) Linea in ogni cui punto è assegnata una direzione inva- 

 riabilmente collegata al triedro principale (Atti R. Acc. Torino, voi. LUI, 1918). 



( 2 ) Per la completa eliminazione dei simboli di Christoffel e la trattazione assoluta 

 degli spazi carvi, cfr. una interessante Memoria di T. Boggio di prossima pubblicazione. 



