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Se allora consideriamo ( d ) l'omografia ff = dN/dQ si ha subito dell'ul- 

 tima delle (7) ed (8) [cfr. ( d ), n. 39, (4)], indicando con e il segno di h, 



(9) I 2 (T = __ (COS 4 0)M 2 , (COS 2 0)/fc = £ )/— 1 2 (7 . 



Se inoltre osserviamo che dalle (7), (8) si ha 



G/ANo' — -(aj' + oossp)N , Qe' A N/ = — — ^— uX£.N = — ^— N 



cos 3 wcos 2 



allora si ha subito [cfr. n. (3)] 



<t - . T m cos ( , , . , cos 2 6* , 1 ) 



-isrii . fr + «»>fc*j 



che dà appunto, e sotto forma assai semplice, la curvatura media, l 1 ff, 

 della rigata nel punto generico Q . 



3. Dimostriamo ora come dalla (10) si deduca subito il teorema di 

 Catalan relativo alle rigate di area minima. Non si toglie nulla alla gene- 

 ralità supponendo P punto centrale, cioè x = e quindi cos X = 0. La 

 formula (10) dà I,^ = 0, per x , qualunque, solamente quando 1/n = 

 e cos (p = e x'= 0. La l/« = esprime ( e ) che w'= 0, cioè w = cost. 

 Dalla cos y> = si trae t = rt w e quindi la linea di stringimento è una 

 retta normale a tutte le generatrici. La x'=0 equivale ad m' = cioè 

 ad m = cost. Allora la tangente in Q alla linea 6 = cost è parallela al 

 vettore t — tgflv che forma l'angolo 8 con t e quindi le linee = cost 

 sono eliche di asse Pw. Resta così dimostrato, con minimi mezzi, che: le 

 sole superficie rigate ad area minima sono gli elicoidi chiusi a piano 

 direttore. 



4. Osservndo che ffQb' = ìlb', che <rN = ( d ) e facendo uso del noto 

 sviluppo generico di c(uAN) si ha 



(10) 



cru = £ J — l 2 ff . u AN , crN = 



I ff(uAN) = f|-l,ff.u + l 1 ff.uAN 



e quindi per la ff 



(11) tr=V.H(uAN , uAN) + 



+ e f/— U<r j H(u , u A N) + H(u A N , u) } 



e si può quindi utilizzare ff per le curvature normali, torsioni geodetiche 

 e curvature geodeliche in direzioni qualunque ( d ) ('). 



(') L'equazione differenziale delle assintotiche è dQy^a dQ = ( d ) cioè, riprendendo 

 s,x come variabili indipendenti, ed osservando che, per la prima (10) uX«n = (l 



! (t + x\V) X a (t + cc\\') ds + 2(t + tsv!) X <ni dx }ds = 

 che si scinde in due: ds = 0, che dà le generatrici; l'altra è un'equazione differenziale 

 di Eiccati e dà il noto teorema del birapporto delle quattro assintotiche curvilinee fisse. 

 Ciò si ottiene senza far uso di determinanti. 



