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di determinare tutti i sistemi ortogonali (u , v) sulla sfera pei quali si ve- 

 rifica la (1), si connette al problema della deformazione delle quadriche 

 rotonde, aventi un fuoco principale nel punto fisso P da cui è contata la 

 distanza r, e i due problemi si equivalgono perfettamente. 



Osserverò ancora di passaggio che ai sistemi ortogonali sferici del tipo 



(1) sono applicabili le trasformazioni di Ribaucour in geometria sferica e 

 le trasformazioni delle deformate delle quadriche rotonde che ne*derivano 

 sono precisamente le così dette G ft , che furono risolute da Calapso nelle 

 loro componenti elementari B k . Più in generale questo avviene pei sistemi 

 ortogonali della sfera che corrispondono ai sistemi coniugati permanenti 

 delle quadriche generali nelle ricerche fondamentali di Calapso 



2. Per risolvere la questione proposta ricorriamo ad alcuni risultati la 

 cui dimostrazione viene data in un lavoro che si sta ora pubblicando nelle 

 Memorie di questa R. Accademia ( 2 ). 



Si consideri una superficie S qualunque e la sua polare reciproca S 

 rispetto ad una sfera il cui centro indichiamo con P. Alle linee di curva- 

 tura di S corrisponde sulla polare S quel sistema coniugato che si projetta 

 da F sulla sfera in un sistema ortogonale, lo diciamo il sistema coniugato 

 d 'apparenza ortogonale (visto da P). Ora suppongasi che la S appartenga 

 alla classe (1), e considerando dapprima il caso del segno inferiore, abbiasi 



(2) G — E = a r 2 , 



la distanza r essendo contata da P. La condizione necessaria e sufficiente 

 perchè ciò avvenga è che sulla polare reciproca S il detto sistema coniugato, 

 ortogonale apparente da P, sia permanente in una deformazione reale finita 

 della S considerata come flessibile ed inestendibile. Si aggiunga che, ove 

 la S si faccia rotolare sulla corrispondente deformata, il punto satellite P 

 descrive una superficie isoterma ( 3 ). 



Per l'altro caso, in cui vale nella (1) il segno superiore e si ha 



(3) G + E = «r 2 , 



sussiste ancora un risultato analogo. Ma in tal caso la deformazione della S , 

 in luogo di essere reale, è puramente immaginaria, vale a dire i corrispon- 

 denti valori dei coefficienti della seconda forma fondamentale nella deformata 

 sono immaginarii puri: iD , iT>" (iD' = 0). La proprietà può porsi nuova- 



(') Rendiconti del Circolo matematico di Palermo, tomo 16 (1902) e Annali di ma- 

 tematica tomo 19, ser. 3* (1912). 



( a ) Ricerche sulle congruenze di sfere e sul rotolamento di superficie applicabili 

 (ved. i §§ 54, 55 della Memoria). 



( 8 ) Cfr. la Nota: Sulla generazione per rotolamento delle superficie isoterme (questi 

 Rendiconti, novembre 1915). 



