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mente sotto forma reale ricorrendo al teorema di Darboux sui sistemi ciclici. 

 Esiste infatti una tripla infinità di congruenze normali di circoli tracciati 

 nei piani tangenti di S e pei quali alle linee di curvatura delle superficie 

 ortogonali ai circoli corrisponde su S il detto sistema coniugato (u , v), che 

 diremo per ciò un sistema coniugato ciclico. 



Se ne conclude che la ricerca delle superficie S della classe (2) equi- 

 vale a quelle delle superficie S (loro polari reciproche) che posseggono un 

 sistema coniugato permanente d'apparenza ortogonale. Similmente la ricerca 

 delle superficie S della classe (3) equivale a quella delle superficie S dotate 

 di un sistema coniugato ciclico d'apparenza ortogonale. 



3. Applichiamo queste osservazioni generali al caso in cui la super- 

 ficie S sia una sfera. La polare reciproca S della sfera rispetto ad una sfera 

 col centro F in un punto dello spazio è allora una quadrica rotonda Q 

 avente in F un fuoco principale: precisamente Q è un paraboloide rotondo 

 se F cade sulla sfera S, un ellissoide (allungato) se F è interno, un iper- 

 boloide (a due falde) quando F è esterno. Di più nel caso attuale tutti i 

 sistemi coniugati di Q si cangiano sulla sfera S in sistemi ortogonali (e 

 viceversa). Dunque: per ottenere tutti i sistemi ortogonali sferici della 

 classe (2) basta projettare dal fuoco F sulla sfera i sistemi coniugati 

 permanenti della quadrica Q. 



Similmente i sistemi sferici della seconda classe (3) si hanno projet- 

 tando i sistemi coniugati ciclici della quadrica Q sulla sfera ( l ). 



Resta così dimostrato che in effetto la ricerca dei sistemi ortogonali 

 sferici in discorso equivale al problema della deformazione delle quadriche 

 rotonde. 



È interessante osservare che se il fuoco F non cade sulla sfera, ogni 

 ds n sferico pel quale sussiste la (1) soddisfa in doppio modo a questa con- 

 dizione. Poiché infatti se F' è il coniugato armonico di F sul raggio OF 

 ed r' indica la relativa distanza del punto (u , v) della sfera da F', sussiste 



r 



la relazione elementare -y = cost, e la (1) può anche scriversi 



G =fc E = a'/ 2 (a' costante). 

 Ne segue che le due quadriche rotonde Q , Q' polari reciproche della sfera S 



(') Si osservi che se, in particolare, F cade nel centro della sfera si ha r = cost 

 ed ai corrispondenti sistemi sferici si può dare la forma 



ds" = senh a du? + cosh'0 dv* 



o l'altra 



ds'* = sen 2 du 2 + cos s dv s , 

 ciò che riconduce a risultati hen noti. 



