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rispetto a sfere coi centri in P , F' si corrispondono in una tale omografia 

 che i sistemi coniugati permanenti di Q si cangiano in quelli permanenti 

 di Q\ e così pure quelli- coniugati ciclici negli omologhi. Le due quadriche 

 Q , Q' sono dunque un ellissoide allungato ed un iperboloide a due falde 

 coniugati in deformazione, secondo la trasformazione H di cui al cap. V, 

 voi. Ili delle Lezioni (cfr. § 72, ivi). 



4. Vogliamo ora trovare effettivamente le forme: 



ds' 2 = Edu 2 + Gdv 2 



dell'elemento lineare sferico soddisfacente alla (2) deducendole, come sopra 

 si è spiegato, dalle trasformazioni D m di Darboux delle superficie a curva- 

 tura media costante. Un tale sistema (u , v) dà altresì l' immagine di Gauss 

 delle linee di curvatura di un'altra superficie isoterma legata alla superficie 

 a curvatura media costante dalla trasformazione T m associata alla D m di 

 Darboux ( 1 ). 



Se il ds 2 della superficie a curvatura media costante H si scrive 



ds 2 = e 2 \du 2 -f dv 2 ) , 



per le curvature principali — , — si può prendere 



1 H + T* 9 1 H — e- 29 



mentre è una soluzione dell'equazione a derivate parziali del secondo 

 ordine 



-^ + ^ + I(H*^-^):=0. 



in 2 1 ìv 2 1 4 v ' 



Una trasformazione D m della superficie S a curvatura media costante 

 è definita dalle funzioni trasformatrici A , fi , w , g> assoggettate a soddisfare 

 al sistema lineare omogeneo: 



— = w(Hé° -4- e °) a> — r- 2mr ) w — — a , 



!>u 1 ' \ 2 ' / ì>v 



~òp D0 Hg 9 — e~ 6 lg> __ Q . 



~òu tv ìu 2 ~òu 



(A) 



!>l ~òfi 9 _„ / H e 9 + e" 9 , e\ ~* e 3 



liw Hé? 9 -f-e 9 Dcp 6 

 Dv 2 ^ D-w 



(') Cfr. la Memoria: Complementi alle ricerche tulle superficie isoterme [^Annali 

 di mat., ser. 3*, tomo XII (1905)J e la Nota in questi Rendiconti già citata al n. 2. 



