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 ed all'equazione quadratica accessoria 

 (A*) X 2 + >t 2 — 2wH<y> 2 — Am(fw — w 2 , 



della quale basta tener conto ai limiti. 



La superficie 2 trasformata della S a curvatura media costante H , per 

 la trasformazione T TO associata alla D m , ha l'elemento lineare 



— e 56 



ds 2 = — (du 2 -j- do' 2 ) 



e le curvature principali 



1 H + e- 26 1 H — e~ 2 ® 



onde per il ds' 2 della sua immagine sferica abbiamo 



ds' 2 =Edu 2 + Gdv 2 



con 



/ 6 Hg — e V ( 



y w 2 — v ) \ 



(4) E = , G = 



<f 2 (p 2 

 e per ciò 



(5) G — E = H — 2 — . 



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5. Andiamo ora a verificare che il secondo membro di questa è in 

 effetto proporzionale, per un fattore costante a , al quadrato r 2 della distanza 

 del punto (u , v) della sfera a un punto fisso nello spazio. Denotando con 

 X , T , Z le coordinate del punto (u , v) della sfera e prendendo il punto 

 fisso nel punto (0 , , e) dell'asse Oz abbiamo 



(6) r 2 = X 2 + Y 2 -f (Z — e) 2 = c 2 + 1 — 2cZ 



e resta da provarsi che possiamo determinare le costanti a , c per modo 

 che si abbia 



(7) H — 2^ = a{c 2 -\-\) — 2ac7i . 



Per questo possiamo servirci del risultato ottenuto al § 6 dei citati Com- 

 plementi colla forinola 



(8) Z = — 1 (- + 2m) 0, 



( 1 ) Si avverte che per la realità della trasformazione deve essere 2». (2»! -f- H) >> 0. 



