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Dal teorema di Lie sui sistemi isotermi (Lezioni, voi. I, § 47) segue 

 che la espressione 



(He 9 — e~ b ) <p — 2e 9 w fi du 



(13) dV = 



2(p 2 2m{2m -4- H) — (<2> + 2mf 



(H6 9 + g~ 9 ) <p — 2e 9 w ^ 



2<p 2 2m (2m -f- H) — + 2w) s 



è un differenziale esatto. Ed ora se il ds* dato dalle (4) si riferisce alle 

 linee <I> = cost ed alle loro trajettorie ortogonali *P = cost, siccome si ha 

 per la (11) 



j l <p = 2m(2m -f- H) — (<*> -f- 2w) 2 

 e per le (4) e per le (13) 



A 2 -+- ^ 1 1 



<p* (^,<1>) 2 Ji<P ' 

 essendo inoltre 



r(<P,«P) = 0, 

 risulterà (Lesioni, voi. I, § 44) : 



d<t> 2 



ds' 2 = —-=■ + ^. <*> • dW , 



cioè 



d<£* 



ds'* = — - , =r - , - + [2m(2m + H) — (<P 4- 2w) 2 ] d*P z 



2m(2m -J-H) (<P + 2m) 2 



Pongasi ora 



(14) tf> -f- 2to = ]/2m(2m + H) . sen a 



«P^2m(2w + H) = /?, 



e il ds'* sarà ridotto all'ordinaria forma dell'elemento lineare della sfera 

 unitaria 



ds' 2 = da 2 -f sen 2 a d^ , 



riferito a. coordinate geografiche «,/?. Ed avendosi qui Z = sena, la for- 

 mola (14) si riduce così alla (8), la quale resta per tal modo nuovamente 

 stabilita. 



7. Trattiamo da ultimo di un problema analogo a quello del n. 1 quando 

 ai coefficienti E , Gr dell'elemento lineare sferico s' imponga l'altra condizione 



(15) G =£ E = as* , 



dove ora con z indichiamo la distanza del punto (u , v) della sfera 2 da un 



