piano fisso n. Una semplice considerazione di metrica non-euclidea ricon- 

 duce subito il nuovo problema alla teoria delle superficie a curvatura costante. 

 Prendasi infatti il piano n come piano limite di una metrica (iperbolica) 

 di Poincaré (') definita da 



In questa metrica 2 rappresenta ancora una sfera; questa però è a 

 centro proprio se n non incontra 2, un'orisfera quando n è tangente a 2, 

 in fine una sfera a centro ideale se n attraversa 2, e a seconda dei tre 



casi la curvatura assoluta di 2 in metrica iperbolica è positiva, nulla o 

 negativa. Ma pel ds 2 di 2 in questa metrica 



che corrisponde a dare al ds 2 l'una o l'altra delle due forme : 



ds 2 = cos 2 du 2 -f- sen 2 ddv* 

 ds* = cosh 2 du 2 -f senh*0 dv 2 . 



Il problema equivale adunque appunto alla ricerca delle superficie a 

 curvatura costante negativa, o positiva, e nel caso particolare di n tangente 

 a 2 si risolve coli' integrazione dell'equazione 



ds 2 = 



dx 2 -f- dy 2 -f- ds 



2 



ds 2 = e du 2 -|- g dv 2 



la (15) si muta manifestamente nell'altra 



g =t e = cost , 



Du 2 



(*) Cfr. le mie Lesioni di geometria differenziale, voi. I, § 187 segg. 



Rendiconti. 1918, Voi. XXVII, 1° Sem. 



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