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Un piano co condotto per A seca c in 8 punti pei quali passa una ed 

 una sola quartica k avente A come triplo; al variare di co, per A, si ot- 

 tengono cosi oo* quartiche k ognuna 8-secante c e con A triplo, le quali 

 quartiche generano una congruenza (razionale). Si vuol dimostrare che questa 

 congruenza è d'ordine 2. 



Infatti le superficie d'ordine 5 aventi il punto A 4-plo e passanti per 

 la curva c soddisfano (*) a 20 -f- (5-8 — 7 1) = 54 condizioni lineari, 

 onde esse costituiscono un fascio (P. Inoltre siccome una qualunque k x , delle 

 quartiche k , ha già 8 -j- 3 • 4 = 4 • 5 punti comuni con ogni superficie di <P , 

 segue che per ki passa una (sola) di queste superficie ; sia tp x . 



L'ulteriore intersezione di ep, col piano di k x è una retta passante 

 per A e, generalmente, non incidente c . Viceversa è chiaro che ogni piano 

 condotto per una siffatta retta seca ulteriormente cp x in una quartica k. 

 Di rette siffatte, in cp l , ne esistono 2 ; infatti (fi e il cono che da A proietta c 

 si secano in questa curva, nelle 14 corde di c uscenti da A, ognuna contata 

 due volte, e in una quartica avente A multiplo secondo 4-8 — 14-2 = 4, 

 quartica che dunque è costituita da quattro rette uscenti da questo stesso 

 punto ( l ). Ne segue senz'altro che le 4-5 = 20 rette di <p, passanti per A 

 sono: queste 4 rette, le 14 corde di c sopradette, e altre 2 rette (general- 

 mente) non incidenti c. Dunque sulla superficie <y>i le quartiche k costitui- 

 scono due fasci. 



Ed ora siccome per un punto generico dello spazio ambiente passa una 

 sola superficie di <P , si può concludere che 



le quartiche 8-secanti una data curva gobba {irriducibile e priva 

 di punti doppi) d'ordine 8 e genere p = 7 '_, e aventi come triplo un dato 

 punto fuori di questa curva, generano una congruenza d'ordine 2. 



2. Nel numero precedente si dimostrò che in ogni superficie del fascio <3P 

 esistono due rette, ciascuna passante per il punto A e non incidente la 

 curva c. Tutte queste rette, che per brevità chiameremo notevoli, costitui- 

 scono un fascio; infatti in un piano co, genericamente condotto per A, esiste 

 una sola k' delle quartiche k (n. 1); questa k' appartiene ad una sola, y>', 

 delle superficie del fascio <P ed è complanare con una sola delle due rette 

 notevoli esistenti in questa superficie g>'. Nè in co può esistere una retta no- 

 tevole appartenente ad una superficie <p", di <P, non coincidente con tp' , 

 perchè in tal caso in co oltre della k' esisterebbe un'altra quartica k, e 

 precisamente l' ulteriore intersezione di w con <p'\ ciò che è assurdo. Dunque 

 è proprio vero che le rette notevoli costituiscono un fascio; in questo le 

 coppie, ognuna appartenente ad una stessa superficie di <t> , generano un'in-, 



(') Severi, Su alcune questioni di postulazione [Rendiconti del Circolo Matematico 

 di Palermo, tomo XVII (1903)], n. 10 b. 



(") Del resto allo stesso risultato è assai facile pervenire direttamente. 



