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On a d'ailleurs 



fg(t) = gf(t) 



«t les calculs de composition se font comme les calculs de produits. 



Sans revenir sur la définitiou des puissances de composition ( l ), je rap- 

 pelle que, si n est positif, on a 



W ~~ r(n) ~r(n)' 



«t que, si 



f(t) = c i ( i« -f È{t) ) (c = constante) 



on a 



(4) h{t) = e» Ì»(Ì tì + H(/) ) n = c n i" (ì> + n H + ?fc=!) H* -J \. 



J'ai raontré précède mraent (*) que l'on peut encore definir la composition 

 <ìans le cas où l'intégrale (1) cesse d'avoir un sens, f et g devenant infinies 

 d'ordre determinés pour t = : il suffit en general de remplacer l'intégrale 

 par sa partie tìnie. Il en resuite immédiatement ( 3 ) que les formules (3) 



et (4) sont yalables quel que soit n distinct d'un entier négatif; f n {t) étant 

 toujours une fonction de i parfaitement définie ( 4 ). Dans tous les cas, l'expo- 

 sant de composition a tontes les propriétés des exposants ordinaires. 

 2. Ceci posé nous démonstrerons que : 



Théorème. — II existe une fonction entière tette que la 



fonction de Bessel 



( 5 ) 3 n (t) = }_r 2»*«T!r(» + r+l) 

 puitse, quel que soit n , se mettre sous la forme 



(6) J«(*) = 3oÌ sn (t). 



Pour le démontrer remarquons que le piocédé de sommation des séries 

 divergentes de Borei ( 5 ) conduit à associer les fonctions 



f(£) = a>£ + M„ 



et F(t) = a t + «iyjH h«* +■••• 



( l ) Cf Volterra, Atti della R. Acc. dei Lincei, serie 5 a , voi. XI. 

 ( a ) Cf. deux notes des Rend. R. A. Lincei, l er sem. 1917. 



( 3 ) Parceque la généralisation ainsi obtenue pour la composition en conserve la» 

 propriétés. 



(*) Si n est un entier négatif ou nul, 1" n'cst pas nul, mais représente un symbole 



de derivation par rapport à t; f n , toujours donne par la formule (4), contient les sym- 



• • » • 



boles 1° , 1 — 1 , etc. (par exemple f° = 1°) (cf. la 2 ème de mes Notes précédemment citées). 



( 5 ) avec une modifìcation de détail. 



