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Nous associerons de mème, r étaat un exposant quelconque, les fonction» 



(7) f(C) = a £ r + a, r +1 H \-a n -| 



/r— 1 vr jr+n— 1 



(8) P(() = ,.^ + a , 7{7TTy+ .^ + (t „ F ^ T + ...., 



•t il est immédiat que les fonctions t F(t) , ^F(^), / — — -, P-jj-, onfe 



ai G/C 



pour associe'es, respectivement, les fonctions £* ~ , £ 3 ^— (f f) f* ( -jr ) , 



t' ) * ^ es ^ ^ * ai lleurs immédiat, qu'à des produits de fonctions f 



•orrespondront les compositions des fonctions F(t) correspondantes (*). 



En designant alors par j n (f ) ( 2 ) la fonction associée à J„ (t) , léquation 

 difterentielle de Bessel conduit, d'après les remarques précédentes, à l'équa- 

 tion suivante: 



(9) ^t l (l + H + ^(2t J -t)+>n(l ■-»») = <> 



que vérifie j n {£)- Mais cette équation admet comme solutions fondamentales 



' k(C)-W(C)J" et «(OCV(0]- 



avec t vi - 1 



En comparant les premiers termes du déyeloppement eu sèrie de j n et 

 de w(t) [VlO]" on eD déduit que nécessairement 



et, passant de là aux fonctions associées J„(/), U(^), *P(t) 



J„(*) = U. £"(<). 



On a d'ailleurs 

 de sorte que 



U W = J.W , *«■ J '" ) - J °« ) + J '« ) 



Le Théorème annoncé est ainsi établi. 



(') de mème, les eiposants ordinaires et de coinposition se correspondent. 

 (') Il est aisé de voir que la sèrie /»<£) a un rayon de convergence non nul. 



