Kemarque I. — La fonction u(£) est telle que 



0(OP = 



e* 



or la fonction associée de - ^ est sin /; on a donc 



3l(t) = sin * 

 ^.(^^[sin/] 1 /» 



ou 



Remarque IL — On sait que pi n est entier J„ et J_„ co'incideut au 

 signe près et ne fournissent donc qu'une seule solution de l'équation de 



Bessel correspondante. Une seconde solution s'eiprime à l'aide de et 



de ^' ~ K . On l'exprìmera donc aisément par une formule analogue à (6) en 



introduisant les logarithmes de compo&ition de M. Volterra ('). Par exemple. 

 si # = 0, la seconde solution sera 



(10) Jo iv 



le symbole IW designant le logarithme de composition de 



3 Le Théorème précédent peut eucore se détnontrer corame il suit. La 

 transformation qui fait passer de /"(£) à F(/) et qui f ait correspondre aur 

 produits de fonctions f les compositions des fonctions F a une expression 

 analytique simple. Corame l"on a 



la relation entre les fonctions (7) et (8) peut s'écrire 



< 13 > '«-ju^I^-w* » 14 > ^=àrd,fiì) d * (,) - 



(') Eu efFet, par un chuntrenu-nt de vnriable et de fonction très simple on raméne 

 cette équation à l'équation y'^ — n l y — 0. 



( a ) Cf. le Mémoire déja cité : Atti della R. A. dei Lincei. 



( 3 ) Dans les formule» précédente^ les conlours d'intégration sont les suivants: c est 

 forme par le segni un t — oo . — R de l\ xe réel. le cercle de rayon E, dècrit autour da 

 l'origine dans le sens positif. le segnient — R. — oo d>' l'axe réel. c' et c" soni deux 



