Supporremo che la (1) non si sappia integrare direttamente. Prendiamo 

 allora sull'asse delle x un intervallo arbitrario p. es. 



(2) b > x c 



e proponiamoci di studiare in questo intervallo un integrale particolare y 

 definito dalle condizioni iniziali 



y = X y' — K y" = X 2 . . . y im ~ lì = X^ per x — b 



dove le A, sono grandezze date a piacere. E questo il problema che più 

 interessa nei casi pratici. 



Supporremo soltanto l'esistenza in tutto l' intervallo dato delle deri- 

 vate y ih1 di tutti gli ordini, e supporremo ancora che i valori che queste 

 derivate assumono nel punto x = b cioè 



X\ X% . . . A m _ 1 X m X m+l . . . Xjf . . , 



non tendano ali* infinito al crescere di h. Queste condizioni sono verificate 

 nella grandissima maggioranza dei casi pratici, e di più esse sono suffi- 

 cienti ma non necessarie per l'applicabilità del metodo, onde il procedimento 

 ha una portata più ampia. 



Inutile aggiungere che tutte le X debbono riguardarsi come quantità 

 note; infatti noi conosciamo le prime m — 1 tra esse; derivando dunque 

 la (1) e ponendovi x = b abbiamo immediatamente X h qualunque sia l'in- 

 dice h. 



3. Ciò posto, noi ci proponiamo di risolvere il seguente problema: 

 Scelto ad arbitrio un numero n intero e positivo si domanda di 



determinare n -j- 1 coefficienti costanti a a a x . . . a„ in modo tale che, rap- 

 presentando l'integrale particolare y col polinomio 



(3) Y n = a + a l x -}- a ì z t -J- ■ ■ • + «» ® n , 



l'errore medio della rappresentazione nell'intervallo arbitrario b^x^c 

 risulti minimo, rispetto ad ogni altro polinomio di grado n . 



Chiameremo questo tale polinomio Y„ col nome di « Polinomio di 

 massima approssimazione di grado n ». 



Anzi tutto occorre dimostrare l'esistenza e l'unicità di un tale polinomio. 

 A tale scopo basta ripetere, con poche modificazioni, l'analoga dimostrazione 

 data nei Corsi di Analisi, per provare l'esistenza e l'unicità dei polinomi di 

 Tchebicheff ('). Passiamo ora alla determinazione dei coefficienti. 



4. Cominciamo ad osservare che seuza togliere nulla alla generalità 

 del metodo noi possiamo sempre supporre uguale allo zero quell'estremo 

 dell' intervallo per cui non sono dati i valori della y e delle sue m — 1 



(') V. p. es. È. Borei, Lepons sur les fonctions de variables réelles, Ch. IV, pag. 82. 



