— 388 — 



modo intervengono i simboli di Ohristoffel di seconda specie j r f s j nelle 



operazioni di derivazione covariante e di derivazione controvariante secondo 

 la forma g>. Infatti, se Xr,r 3 ...r m (r x ,r 9 r m = l ,2 , ... ,n) sono gli ele- 

 menti di un sistema di funzioni (di sc :J , x 2 , ... , x n ) covariante e di ordine w, 



il suo sistema derivalo {covariantemente) secondo la forma tp ha per ele- 

 menti (') 



m v »Xr,r 3 ...r m ^ i r { r m+l i 



{lf Arj r a . . r m r m+l — - - — /,/.«) i Ar, qn +1 ...r m . 



Se invece X ( »'i r 2 ...r m ) rappresentano gli elementi del sistema reciproco 

 di Xr, r 2 ...r m , rispetto alla forma 9), e quindi costituenti un sistema con- 

 trovariante dello stesso ordine ( 2 ), gli elementi del primo sistema derivato 

 {controvariantemente) secondo <p sono ( 3 ) 



* ( ^X (, 'i r 3 ...r m ^ 



(I,) X <1 '>»'s' , '»-''»+i' = ) , fl«''m+i> — (- 



+ I 2 | >f ]X^...n_ I - 2 r l+I ,.r w ). 



Scopo della presente Nota è di introdurre un' unica operazione di deri- 

 vazione, equivalente tanto alla derivazione covariante (I), quanto alla deriva- 

 zione controvariante (I,). Lo scopo si raggiunge se agli elementi covarianti 

 controvarianti che definiscono i sistemi dati si sostituiscono degli invarianti. 

 Giova a tal uopo riferirsi ad una ennupla generica di congruenze ortogo- 

 nali ( 4 ) [1] , [2] . ... , [ri] . Chiamando, come è consuetudine, con 1 , 2 , .... n 



le linee corrispondenti, sieno x\ ^ , Xh/k (h . k = 1 . 2 , ... , n) i sistemi coor- 

 dinati controvariante e covariante della congruenza \_h~] . Posto 



ovvero — ciò che è equivalente — 



(2') Jr, r, ... r m = ^ /„ ... ^ X<*' A ' - *-) ^ ^/A, ... Xr m !h m , 



tanto le (I) quanto le (I]) sono equivalenti alle seguenti: 



,7T m n 



iV\ T uor t r*...r m V V y T 



(1 ) Jr,r 2 ...r m c m+ , — , — J_l /r 1 Jr,r t ...»' ( -ign+i ...r m , 



r m+ 1 1 1 



(') Loc. cit. , pag. 138, forinola (19). 



(') Loc. cit., pag. 134. 



(•) Loc. cit., pag. 140, forinola (20). 



(«) Loc. cit., Gap. II, § 1. 



