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l'ordine dell'altra, secondo un numero intero k che soltanto in casi par- 

 ticolari ha ti valore 1. 



In questa Nota ed in un'altra che le farà seguito, sono indicati tipi 

 assai semplici di corrispondenze nelle quali il numero k ha valore arbi- 

 trario. 



In successive pubblicazioni farò noti altri nuovi risultati ottenuti nelle 

 mie lezioni sulla teoria generale delle corrispondenze birazionali dello spazio, 

 teoria per la quale tuttora possono ripetersi le parole scritte 22 anni or sono 

 dal Loria 



u Malgrado il grande valore degli scritti con eui l'Inghilterra, l'Italia 

 « e la Germania contribuirono a fondare e svolgere la teoria delle corrispon- 

 « denze univoche tra due spazi, non si può dire che questa abbia raggiunto 

 « quel grado di perfezione che altre conseguirono e a cui essa poteva giu- 

 « stamente aspirare; ciò forse dipende dal fatto che la soluzione delle più 

 « ardue e delicate questioni ad essa collegate dipende dalla determinazione 

 « della natura e dal numero delle singolarità delle superficie, determinazione 

 « che offre delle difficoltà che non furono ancora vinte. Da ciò forse la spie- 

 « gazione del fatto che i geometri posteriori a quelli citati si occuparono 

 « più di illustrare i metodi dei grandi maestri summentovati che di perfe- 

 « zionarli e completarli ». 



1. Nello spazio data una omografia Sì, si assumano due fasci di qua- 

 driche corrispondenti <I> , <£' che abbiano per basi l' uno una cubica o 3 ed 

 una corda o di tale linea, l'altro la cubica o' 3 e la corda d omologhe delle 

 predette linee nella Si. 



Quindi si assegni un sistema razionale 2 di proiettività intercedenti 

 fra le punteggiate (p) , (</) e si supponga che il sistema sia riferito proiet- 

 tivamente ai lasci <t> , d>' . 



11 procedimento più semplice per ottenere tale sistema, è noto. Basta 

 fissare nello spazio due schiere rigate incidenti g , g' e riferire proiettivamente 

 la schiera g alla punteggiata (o) e la schiera g alla punteggiata (o'). Con 

 ciò ogni proiettività fra le punteggiate (o) , (</) determina una proiettività 

 fra le schiere g g e però individua un punto dello spazio, vertice del 

 cono inviluppato dai piani sostegni delle coppie di generatrici omologhe delle 

 due schiere; e viceversa. 



Perciò se si assegna nello spazio ^una curva razionale s fuori della qua- 

 drica sostegno delle due schiere e si riferiscono proiettivamente i punti 

 della curva s alle quadriche omologhe n 2 , n\ dei fasci <t> , <t>' , le proietti- 

 vità fra le (o) , (o'). coordinate a questi punti 0, costituiranno un sistema 2 

 soddisfacente alle condizioni indicate. 



( 1 ) Loria, // passato ed il presente delle principali teorie geometriche, Torino, 1896, 

 pag. 252. 



