Se la curva s è di ordine k =. 1 , una retta p della schiera q ed una 

 retta p della schiera q' saranno in un piano che segherà la curva s in k 

 punti. Corrispondentemente un punto generico P della o ed un punto gene- 

 rico P' della o' saranno omologhi in k corrispondenze del sistema 2. 



Inoltre la curva s sega la quadrica sostegno delle schiere q , g' in 2k 

 punti. Corrispondentemente nel sistema 2 vi saranno 2k proiettività degeneri. 



Ciò posto, si assumano nei fasci d> , <P' due quadriche omologhe arbi- 

 trarie 3T 2 , n\ . Le schiere a , à delle due quadriche che contengono rispetti- 

 vamente le o,o r , corrispondendosi nella omografìa Sì, risultano riferite fra 

 di loro con proiettività nella quale risultano omologhe le o , o'. Così fra le 

 schiere /? , /?' opposte alle precedenti resta determinata una proiettività nella 

 quale due generatrici omologhe si appoggiano alle o , o' in punti corrispon- 

 denti nella proiettività del sistema 2 omologa delle quadriche n t ,'n' t . 



E le due proiettività indicate che si hanno, V una fra le « , a', l'altra 

 fra le /? , determinano una corrispondenza omografica fra i punti delle 

 quadriche n % , n\ . 



Col variare delle due quadriche nei fasci , <P', ne risulta una corri- 

 spondenza birazionale X fra i punti dello spazio S, sostegno del fascio <t> , 

 e i punti dello spazio S' , sostegno del fascio (P'. 



La genesi assai semplice di tale corrispondenza permette di stabilirne 

 facilmente le proprietà caratteristiche. 



2. Una qualsiasi delle 2k proiettività degeneri del sistema 2 abbia i 

 punti singolari R , E' e sia omologa della coppia di quadriche q 2 , (4 dei 

 fasci <& , <t>'. Sulle due quadriche le schiere a , a che contengono rispettiva- 

 mente le o , o\ si corrisponderanno nella X con proiettività ordinaria, mentre 

 le schiere opposte /? , /S' si corrisponderanno nella X con proiettività dege- 

 nere avente per raggi singolari i raggi r , r' delle due schiere che passano 

 rispettivamente per i punti 11 , li'. 



Perciò queste rette saranno linee fondamentali semplici della corrispon- 

 denza X negli spazi S , S' rispettivamente, e propriamente un punto gene- 

 rico A della r situato sulla generatrice a della schiera a avrà per omologa 

 nella X la generatrice a r = o' 3 *r' della schiera a', omologa della a nella 

 omografia Sì. Ed analogamente per la r'. 



Dunque la corrispondenza X presenta 2k rette fondamentali semplici 

 in ciascuno dei due spazi. Ogni retta fondamentale semplice ri=o l o\ dello 

 spazio S si associa ad una retta fondamentale semplice r[ = o n o[ l dello 

 spazio S' in modo che le superficie fondamentali omologhe delle due rette 

 negli spazi S' , S sono rispettivamente le q' 2 = o' ò' z r'i , = o o 3 ri. 



Per ogni altra coppia 7i 2 n\ di superficie omologhe dei fasci d> , CP', si 

 ha sempre che la corrispondenza subordinata alla X che intercede fra i punti 

 delle due superficie, non è degenere. In tale corrispondenza alla retta o cor- 

 risponde sempre la retta o', ma la proiettività che intercede fra i punti 



